《七年级数学第一单元思维导图》

一、 有理数

1.1 有理数的概念

1.1.1 正数和负数

• 概念：
  • 大于0的数是正数，小于0的数是负数。
  • 0既不是正数，也不是负数。
• 表示方法：
  • 正数前面可以加“+”，也可以省略。
  • 负数前面必须加“-”。
• 实际意义：
  • 用于表示具有相反意义的量。例如：收入与支出，上升与下降，增加与减少等。
  • 规定一个方向为正，则相反方向为负。
• 注意点：
  • 0的意义：基准，分界点。

1.1.2 有理数的分类

• 按定义分：
  • 有理数
    • 正有理数
    • 0
    • 负有理数
• 按性质分：
  • 有理数
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
• 易错点：
  • 有限小数和无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数不属于有理数。
  • 整数可以看作分母为1的分数。

1.1.3 数轴

• 概念：
  • 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
• 要素：
  • 原点：数轴上表示0的点。
  • 正方向：数轴上向右的方向。
  • 单位长度：表示一个单位的长度。
• 作用：
  • 直观地表示数。
  • 比较数的大小。
• 画法：
  • 画一条直线。
  • 确定原点。
  • 确定正方向。
  • 选取适当的单位长度，并依次标出。
• 注意点：
  • 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。

1.1.4 相反数

• 概念：
  • 只有符号不同的两个数互为相反数。
• 表示：
  • a的相反数是-a。
• 性质：
  • 互为相反数的两个数的和为0，即a + (-a) = 0。
  • 0的相反数是0。
  • 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
• 几何意义：
  • 表示一个数到原点的距离。

1.1.5 绝对值

• 概念：
  • 在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
• 性质：
  • 正数的绝对值是它本身，即如果a>0，则|a|=a。
  • 负数的绝对值是它的相反数，即如果a<0，则|a|=-a。
  • 0的绝对值是0，即|0|=0。
• 几何意义：
  • 表示一个数到原点的距离。
• 比较大小：
  • 两个负数，绝对值大的反而小。
• 非负性：
  • 绝对值具有非负性，即|a|≥0。
• 化简：
  • 含有绝对值符号的式子，要注意对绝对值符号内的数进行分类讨论。

1.1.6 数的大小比较

• 数轴法：
  • 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
• 法则法：
  • 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。

1.2 有理数的运算

1.2.1 有理数的加法

• 法则：
  • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 一个数同0相加，仍得这个数。
• 运算律：
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
• 注意点：
  • 进行有理数加法运算时，首先要判断两个数的符号。

1.2.2 有理数的减法

• 法则：
  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)。
• 注意点：
  • 减法运算转化为加法运算时，注意符号的变化。

1.2.3 有理数的乘法

• 法则：
  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘，都得0。
• 运算律：
  • 交换律：a × b = b × a
  • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
• 多个非零因数相乘：
  • 奇数个负因数，结果为负。
  • 偶数个负因数，结果为正。

1.2.4 有理数的除法

• 法则：
  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
  • 0除以任何非0的数都得0。
• 注意点：
  • 0不能做除数。

1.2.5 有理数的乘方

• 概念：
  • 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
  • a^n 表示n个a相乘，a叫做底数，n叫做指数。
• 符号法则：
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
• 注意点：
  • (-a)^n 和 -a^n 的区别。

1.2.6 科学计数法

• 定义：
  • 把一个大于10的数表示成a × 10^n 的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数。
• 确定n：
  • n等于原数的整数位数减1。

1.2.7 近似数与有效数字

• 近似数：
  • 接近准确数，但与准确数有差异的数。
• 精确度：
  • 近似数与准确数的接近程度，通常用四舍五入法取近似数。
• 有效数字：
  • 从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

1.2.8 有理数的混合运算

• 运算顺序：
  • 先乘方，再乘除，最后加减。
  • 同级运算，从左到右进行。
  • 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。
• 注意点：
  • 运算过程中要注意符号的确定。
  • 灵活运用运算律可以简化运算。

二、 总结

本单元主要学习了有理数的概念和运算，掌握了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值等概念，以及有理数的加、减、乘、除、乘方等运算。 理解并熟练掌握这些知识点，是学好后续数学内容的基础。在学习过程中，要注重理解概念的本质，掌握运算的法则和技巧，并能灵活运用解决实际问题。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 六年级数学一单元思维导图