《七年级数学第一章思维导图》

一、 有理数

1.1 正数与负数

1.1.1 定义

• 正数： 大于0的数，如1, 2, 3.14, 1/2等
• 负数： 小于0的数，在正数前面加上“-”（负号），如-1, -2, -3.14, -1/2等
• 0： 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。

1.1.2 表示具有相反意义的量

• 实例：
  • 盈利与亏损
  • 上升与下降
  • 增加与减少
  • 收入与支出
  • 东西方向

1.1.3 注意事项

• 带“+”号的数不一定是正数，例如-（+5）是负数
• 带“-”号的数不一定是负数，例如-(-5)是正数
• 0是整数，但不是正整数，也不是负整数

1.2 有理数

1.2.1 定义

• 整数： 正整数、0、负整数的统称。
• 分数： 正分数、负分数的统称。
• 有理数： 整数和分数的统称。 任何一个有理数都可以写成分数的形式。

1.2.2 分类

• 按定义分：
  • 有理数
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 负分数
• 按正负分：
  • 有理数
    • 正有理数
      • 正整数
      • 正分数
    • 0
    • 负有理数
      • 负整数
      • 负分数

1.2.3 注意事项

• 无限不循环小数不是有理数，例如π。
• 整数包括正整数、负整数和0。

1.3 数轴

1.3.1 定义

• 具有原点、正方向和单位长度的直线。

1.3.2 要素

• 原点： 数轴上表示0的点。
• 正方向： 数轴上箭头所指的方向，通常规定向右为正方向。
• 单位长度： 数轴上相邻两个刻度之间的长度。

1.3.3 用途

• 直观地表示数
• 比较数的大小

1.3.4 注意事项

• 数轴上的点与有理数是一一对应的关系（并非所有点对应有理数，例如无理数点）
• 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。

1.4 绝对值

1.4.1 定义

• 一个数a的绝对值是指数轴上表示a的点到原点的距离，记作|a|。

1.4.2 性质

• |a| ≥ 0，绝对值最小的数是0。
• 正数的绝对值是它本身。
• 0的绝对值是0。
• 负数的绝对值是它的相反数。

1.4.3 表示

• |a| = a (当a ≥ 0时)
• |a| = -a (当a < 0时)

1.4.4 注意事项

• 绝对值具有非负性，任何数的绝对值都不小于0。
• 绝对值相等的数，它们在数轴上表示的点到原点的距离相等。

1.5 有理数的大小比较

1.5.1 数轴法

• 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

1.5.2 法则

• 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
• 两个负数，绝对值大的反而小。

1.5.3 步骤

• 先判断正负，正数>0>负数
• 若都是正数，直接比较大小。
• 若都是负数，则比较绝对值，绝对值大的反而小。

1.6 相反数

1.6.1 定义

• 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。

1.6.2 表示

• a的相反数是-a

1.6.3 性质

• a + (-a) = 0
• 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

1.6.4 注意事项

• 双重符号化简：-(-a) = a, -(+a) = -a, +(-a) = -a, +(+a) = a
• 相反数是成对出现的，不能单独存在。

二、 有理数的运算

2.1 有理数的加法

2.1.1 法则

• 同号两数相加： 取相同的符号，并把绝对值相加。
• 异号两数相加： 绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
• 一个数同0相加： 仍得这个数。

2.1.2 运算律

• 交换律： a + b = b + a
• 结合律： (a + b) + c = a + (b + c)

2.1.3 注意事项

• 先判断符号，再确定绝对值大小。
• 多个有理数相加，可以运用交换律和结合律简化运算。

2.2 有理数的减法

2.2.1 法则

• 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即 a - b = a + (-b)。

2.2.2 注意事项

• 减法转化为加法，符号发生变化。
• 转化后，按照加法法则进行计算。

2.3 有理数的乘法

2.3.1 法则

• 两数相乘： 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
• 任何数同0相乘： 都得0。

2.3.2 运算律

• 交换律： a × b = b × a
• 结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
• 分配律： a × (b + c) = a × b + a × c

2.3.3 注意事项

• 多个非零有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值。
• 乘法分配律逆用可以简化运算。

2.4 有理数的除法

2.4.1 法则

• 两数相除： 同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
• 0除以任何非0的数： 都得0。

2.4.2 除法转化为乘法

• 除以一个数，等于乘以这个数的倒数。即 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)。

2.4.3 注意事项

• 0不能作除数。
• 除法转化为乘法，符号发生变化。

2.5 有理数的乘方

2.5.1 定义

• 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
• 表示： aⁿ (读作a的n次方)
  • a：底数
  • n：指数
  • aⁿ：幂

2.5.2 法则

• 正数的任何次幂都是正数。
• 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
• 0的任何正整数次幂都是0。

2.5.3 注意事项

• 乘方运算结果的符号由底数和指数共同决定。
• (-a)ⁿ与-aⁿ的区别。

2.6 科学计数法

2.6.1 定义

• 把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数。

2.6.2 确定a和n

• a：将小数点移到第一个非零数字后得到的数。
• n：小数点移动的位数（原数是几位整数，n就是几减一）

2.7 近似数和有效数字

2.7.1 近似数

• 与实际数值很接近的数。

2.7.2 精确度

• 近似数的精确程度，通常用四舍五入法。

2.7.3 有效数字

• 从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

2.8 有理数的混合运算

2.8.1 运算顺序

• 先乘方，再乘除，最后加减。
• 同级运算，从左到右进行。
• 有括号的，先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。

2.8.2 注意事项

• 灵活运用运算律简化运算。
• 注意符号问题，特别是负号的处理。
• 掌握运算顺序，规范书写步骤。

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