《八年级上册数学第三章思维导图》

一、 实数

1.1 实数的概念

1.1.1 定义

• 有理数：可以表示成 p/q (p,q 为整数且 q≠0) 的数。
  • 整数：正整数、0、负整数
  • 分数：正分数、负分数
• 无理数：无限不循环小数。
  • 常见的无理数：
    • π (圆周率)
    • √2, √3 等算术平方根开不尽的数
    • 0.1010010001... (无限不循环小数)
• 实数：有理数和无理数的统称。

1.1.2 分类

• 按定义分类：
  • 实数
    • 有理数
      • 整数
      • 分数
    • 无理数
• 按正负性分类：
  • 实数
    • 正实数
      • 正有理数
      • 正无理数
    • 0
    • 负实数
      • 负有理数
      • 负无理数

1.1.3 实数与数轴的关系

• 实数与数轴上的点一一对应。
  • 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
  • 数轴上的每一个点都对应一个实数。

1.2 平方根

1.2.1 定义

• 若 x² = a，则 x 叫做 a 的平方根，记作 ±√a (a ≥ 0)。
  • a 叫做被开方数。
• 算术平方根：正数 a 的正的平方根，记作 √a (a ≥ 0)。
  • 0 的算术平方根是 0。
  • 负数没有平方根和算术平方根。

1.2.2 性质

• 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
• 0 的平方根是 0。
• 负数没有平方根。
• (√a)² = a (a ≥ 0)
• √(a²) = |a| = { a (a ≥ 0) , -a (a < 0) }

1.2.3 平方根的求法

• 利用定义求平方根。
• 估算平方根的大小。

1.3 立方根

1.3.1 定义

• 若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 ∛a。
  • a 叫做被开方数。

1.3.2 性质

• 一个正数有一个正的立方根。
• 0 的立方根是 0。
• 一个负数有一个负的立方根。
• (∛a)³ = a
• ∛(a³) = a

1.3.3 立方根的求法

• 利用定义求立方根。
• 估算立方根的大小。

1.4 实数的运算

1.4.1 运算法则

• 实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同，先乘方开方，再乘除，后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号内的。

1.4.2 运算律

• 加法交换律：a + b = b + a
• 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
• 乘法交换律：a × b = b × a
• 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
• 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

1.5 实数的大小比较

1.5.1 数轴法

• 在数轴上，右边的数总比左边的数大。

1.5.2 差比法

• a - b > 0，则 a > b
• a - b = 0，则 a = b
• a - b < 0，则 a < b

1.5.3 平方法/立方方法

• 当 a > 0, b > 0 时，比较 a² 与 b² 的大小，若 a² > b²，则 a > b。
• 比较立方根时，可直接比较被开方数的大小。

二、用计算器开方

2.1 计算器的使用

2.1.1 开方键

• 了解计算器上平方根键 (√) 和立方根键 (∛) 的位置和使用方法。

2.1.2 操作步骤

• 根据需要选择平方根或立方根键。
• 输入被开方数。
• 按下“=”键，显示结果。

2.2 误差与估算

2.2.1 计算器的局限性

• 计算器显示的只是近似值，存在误差。

2.2.2 估算的重要性

• 通过估算可以判断计算结果的合理性，避免出现错误。

三、总结

3.1 本章重点

• 实数的概念及分类。
• 平方根和立方根的定义、性质及求法。
• 实数的运算和大小比较。
• 利用计算器进行开方运算。

3.2 易错点

• 区分平方根和算术平方根。
• 负数没有平方根，但有立方根。
• 无理数的理解（无限不循环小数）。
• 计算器的误差问题。

3.3 学习方法建议

• 加强概念理解，掌握基本运算。
• 多做练习，巩固知识。
• 注意易错点，避免类似错误。
• 灵活运用各种方法解决实际问题。

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