《七年级上册数学一单元思维导图》
一、有理数
1.1 正数和负数
1.1.1 正数的概念
- 定义：大于0的数叫做正数
- 表示：通常在正数前加上“+”号（可以省略）
- 应用：表示盈利、增加、上升、高于海平面等与基准方向相反的量
1.1.2 负数的概念
- 定义：在正数前面加上“-”号的数叫做负数
- 表示：必须在负数前加上“-”号
- 应用：表示亏损、减少、下降、低于海平面等与基准方向相反的量
1.1.3 0的意义
- 0既不是正数，也不是负数
- 0是正数和负数的分界
- 0表示没有、基准、分界点等
1.1.4 用正负数表示具有相反意义的量
- 相反意义的量：是指意义相反，并且可以用数量表示的量
- 确定基准：首先要确定基准（标准），通常用0表示
- 正负表示：与基准方向一致的用正数表示，与基准方向相反的用负数表示
1.2 有理数
1.2.1 有理数的概念
- 整数：正整数、0、负整数
- 分数：正分数、负分数
- 有理数：整数和分数统称为有理数
1.2.2 有理数的分类
- 按定义分类：
- 有理数
- 整数
- 正整数
- 0
- 负整数
- 分数
- 正分数
- 负分数
- 整数
- 有理数
- 按正负分类：
- 有理数
- 正有理数
- 正整数
- 正分数
- 0
- 负有理数
- 负整数
- 负分数
- 正有理数
- 有理数
1.2.3 数轴
- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴
- 要素：原点、正方向、单位长度
- 作用：
- 直观地表示数，所有的有理数都可以用数轴上的点表示
- 比较有理数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大
1.2.4 相反数
- 定义：只有符号不同的两个数互为相反数
- 代数意义：a的相反数是-a
- 几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等
- 特殊情况：0的相反数是0
1.2.5 绝对值
- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值
- 表示：|a|
- 性质：
- 正数的绝对值是它本身
- 负数的绝对值是它的相反数
- 0的绝对值是0
- 代数表示：
- |a| = a (a>0)
- |a| = 0 (a=0)
- |a| = -a (a<0)
- 意义：绝对值表示点到原点的距离，所以绝对值总是非负数，即|a|≥0
1.2.6 有理数大小的比较
- 数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大
- 正数、0、负数的大小比较：正数 > 0 > 负数；两个负数，绝对值大的反而小
1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法法则
- 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
- 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0
- 一个数同0相加，仍得这个数
1.3.2 有理数加法的运算律
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
1.3.3 有理数的减法法则
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)
1.3.4 加减混合运算
- 将减法统一成加法
- 运用加法的交换律和结合律进行简化运算
1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法法则
- 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
- 任何数同0相乘，都得0
- 多个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负
1.4.2 有理数乘法的运算律
- 交换律：a × b = b × a
- 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
- 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
1.4.3 有理数的除法法则
- 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
- 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
- 0除以任何不等于0的数，都得0
1.4.4 乘除混合运算
- 将除法统一成乘法
- 确定积的符号
- 计算绝对值的积
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方的概念
- 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
- 表示：aⁿ，读作a的n次方（或a的n次幂）
- 组成：aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ叫做幂
- 意义：aⁿ表示n个a相乘
1.5.2 幂的符号法则
- 正数的任何次幂都是正数
- 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
- 0的任何正整数次幂都是0
1.5.3 科学记数法
- 定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法
- n的确定：n等于原数整数部分的位数减1
1.5.4 近似数
- 精确度：近似数与准确数的接近程度，通常用四舍五入法取近似数
- 有效数字：从一个数左边第一个非0数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字
1.6 有理数的混合运算
1.6.1 运算顺序
- 先乘方，后乘除，最后加减
- 同级运算，从左到右进行
- 如有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的
1.6.2 运算技巧
- 运用运算律简化计算
- 注意运算符号的确定
二、思维导图总结
本单元主要学习了有理数的概念、分类、运算及其应用。理解正负数的意义、掌握有理数的各种运算是学习本单元的关键。通过数轴、相反数、绝对值等概念，加深对有理数的理解，并能够运用有理数的知识解决实际问题。熟练掌握运算顺序和运算律，能够提高运算效率和准确性。 灵活应用科学记数法和近似数，能够解决较大的数值计算问题。