《正数和负数有理数有理数加减的思维导图》
I. 正数和负数
A. 概念定义
-
正数： 大于0的数，表示增加、盈利、上升等含义。
- 记法：通常在数前加"+"号（可省略）。例如：+5，也可以直接写成5。
- 例子： 气温上升 5°C（+5°C），收入增加 100元（+100元）。
-
负数： 小于0的数，表示减少、亏损、下降等含义。
- 记法：在数前加"-"号。例如：-3。
- 例子：气温下降 3°C（-3°C），支出 50元（-50元）。
-
0： 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界。
- 表示基准，例如：海平面高度、标准温度。
B. 数轴
- 定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线。
- 要素：
- 原点： 数轴上表示 0 的点。
- 正方向： 数轴上箭头所指的方向，通常规定向右为正方向。
- 单位长度： 数轴上相邻两个刻度之间的距离。
- 作用：
- 直观地表示数的大小。
- 帮助理解正数、负数和0的关系。
- 为有理数运算提供几何模型。
C. 相反数
- 定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。
- 例如：5 和 -5，-2 和 2。
- 表示： 数 a 的相反数记作 -a。
- 性质：
- 互为相反数的两个数的绝对值相等。
- 互为相反数的两个数的和为 0。
- 0 的相反数是 0。
- 几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
D. 绝对值
- 定义： 数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作 |a|。
- 代数意义：
- 正数的绝对值是它本身。
- 负数的绝对值是它的相反数。
- 0 的绝对值是 0。
- 可表示为： |a| = a, a > 0 |a| = 0, a = 0 |a| = -a, a < 0
- 性质：
- 绝对值总是非负的，即 |a| ≥ 0。
- 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 |a| = |-a|。
- 几何意义： 表示点到原点的距离，距离总是非负的。
II. 有理数
A. 定义
-
整数： 正整数、0、负整数的统称。
- 正整数：1, 2, 3, ...
- 负整数：-1, -2, -3, ...
-
分数： 可以表示成两个整数之比的数 (分母不为0)。
- 正分数：大于0的分数。
- 负分数：小于0的分数。
-
有理数： 整数和分数的统称。
- 按性质分：正有理数、0、负有理数。
- 正有理数：正整数、正分数。
- 负有理数：负整数、负分数。
- 有理数可以表示成有限小数或无限循环小数。
- 按性质分：正有理数、0、负有理数。
B. 有理数的分类
- 按定义分类：
- 有理数 { 整数 { 正整数, 0, 负整数 }, 分数 { 正分数, 负分数 } }
- 按性质分类：
- 有理数 { 正有理数 { 正整数, 正分数 }, 0, 负有理数 { 负整数, 负分数 } }
III. 有理数的加减
A. 加法
- 同号两数相加： 取相同的符号，并把绝对值相加。
- 例如：(+3) + (+5) = +8; (-2) + (-4) = -6。
- 异号两数相加： 绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0。
- 例如：(+7) + (-3) = +4; (-8) + (+8) = 0。
- 一个数同0相加： 仍得这个数。
- 例如：a + 0 = a。
- 加法交换律： a + b = b + a。
- 加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c)。
B. 减法
- 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
- 即 a - b = a + (-b)。
- 例如：5 - 3 = 5 + (-3) = 2; 2 - (-4) = 2 + 4 = 6。
C. 加减混合运算
- 步骤：
- 将减法转化为加法： 利用 a - b = a + (-b)。
- 省略加号和括号：例如：(-3) + (+5) - (-2) + (-1) => -3 + 5 + 2 - 1。
- 运用加法交换律和结合律：简化运算，先计算同号数的和。
- 技巧：
- 将正数、负数分别相加。
- 利用相反数进行抵消。
- 注意符号的变换。
D. 运算的应用
- 解决实际问题：例如计算收支、气温变化、海拔高度等。
- 简化复杂的计算：利用运算律提高计算效率。
- 模型化：将实际问题抽象成数学模型，运用有理数加减解决问题。
E. 优先级
- 括号内的运算（先算小括号，再算中括号，最后算大括号）。
- 乘除法（从左到右）。
- 加减法（从左到右）。
- 同级运算，按照从左到右的顺序进行。