《七年级上册思维导图》

一、 数与代数

1. 有理数

1.1 概念

• 正数与负数

  • 定义：大于0的数是正数，小于0的数是负数。0既不是正数也不是负数。
  • 表示：在正数前加“+”号，负数前加“-”号。
  • 应用：表示具有相反意义的量，例如：盈利与亏损，上升与下降。

• 有理数

  • 定义：整数和分数统称为有理数。
  • 分类：
    • 按定义分：
      • 正有理数：正整数、正分数
      • 负有理数：负整数、负分数
      • 零：0
    • 按性质分：
      • 整数：正整数、零、负整数
      • 分数：正分数、负分数

• 数轴

  • 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
  • 要素：原点、正方向、单位长度。
  • 作用：
    • 直观地表示数
    • 比较数的大小

• 相反数

  • 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
  • 表示：a的相反数是-a。
  • 性质：a+(-a) = 0，数轴上表示相反数的两个点到原点的距离相等。

• 绝对值

  • 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
  • 性质：
    • |a| ≥ 0
    • 当a > 0时，|a| = a
    • 当a = 0时，|a| = 0
    • 当a < 0时，|a| = -a

1.2 运算

• 有理数大小的比较

  • 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
  • 数轴上右边的数总比左边的数大。
  • 两个负数，绝对值大的反而小。

• 有理数的加法

  • 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等时，和为0。
  • 任何数同0相加，仍得这个数。

• 有理数的减法

  • 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
  • a - b = a + (-b)

• 有理数的乘法

  • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数与0相乘，都得0。
  • 乘法交换律：a×b = b×a
  • 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)
  • 乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c

• 有理数的除法

  • 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
  • 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
  • 0除以任何一个不等于0的数，都得0。

• 有理数的乘方

  • 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
  • 表示：aⁿ (a为底数，n为指数)
  • 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。

• 科学计数法

  • 将一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1 ≤ |a| < 10，n是正整数。

• 近似数与有效数字

  • 近似数：根据实际需要，对一个数进行取舍得到的数。
  • 有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

• 有理数的混合运算

  • 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先算括号里面的。

2. 整式的加减

2.1 概念

• 代数式

  • 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。

• 单项式

  • 定义：由数与字母的乘积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
  • 系数：单项式中的数字因数。
  • 次数：单项式中所有字母的指数的和。

• 多项式

  • 定义：几个单项式的和。
  • 项：多项式中的每个单项式。
  • 次数：多项式中次数最高的项的次数。
  • 常数项：不含字母的项。

• 整式

  • 定义：单项式和多项式统称为整式。

2.2 运算

• 同类项

  • 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
  • 合并同类项：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

• 去括号

  • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号。
  • 括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。

• 整式的加减

  • 步骤：
    • 去括号
    • 合并同类项

二、 几何图形初步

1. 图形的初步认识

1.1 立体图形与平面图形

• 立体图形：占据一定空间的图形，例如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体等。
• 平面图形：在同一平面内的图形，例如：三角形、正方形、圆等。

1.2 直线、射线、线段

• 直线：向两方无限延伸的，没有端点。
• 射线：直线的一部分，只有一个端点。
• 线段：直线的一部分，有两个端点。
• 表示方法：
  • 直线：用直线上的两个点表示，如直线AB，或用一个小写字母表示，如直线l。
  • 射线：用端点及其它任意一点表示，如射线OA。
  • 线段：用线段的两个端点表示，如线段AB，或用一个小写字母表示，如线段a。

1.3 角

• 角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形。
• 角的表示：
  • 用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠AOB。
  • 用一个大写字母表示，顶点只有一个角时才能用此法，如∠O。
  • 用数字或希腊字母表示，如∠1，∠α。
• 角的单位：度、分、秒 (1°=60′，1′=60″)
• 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角
  • 锐角：小于90°的角。
  • 直角：等于90°的角。
  • 钝角：大于90°小于180°的角。
  • 平角：等于180°的角。
  • 周角：等于360°的角。

2. 线段与角的度量

2.1 线段的比较与画法

• 线段的比较：
  • 叠合法：将两条线段放在同一条直线上比较。
  • 度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再进行比较。
• 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
• 两点之间，线段最短：连接两点的所有线中，线段最短。

2.2 角的比较与画法

• 角的比较：
  • 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，看另一边是否在同侧。
  • 度量法：用量角器分别量出两个角的度数，再进行比较。
• 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。

2.3 余角与补角

• 余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
• 补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
• 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

三、 数据的收集与整理

1. 调查

• 全面调查：考察全体对象。
• 抽样调查：抽取一部分对象进行调查。
• 样本：被抽取的部分对象。
• 总体：考察的全体对象。
• 样本容量：样本中个体的数目。

2. 数据的表示

• 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数量。
• 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
• 折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。

选择合适的统计图表，更好地展示数据，分析数据，解决问题。

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