《北师五年级倍数与因数思维导图》

一、 核心概念

• 倍数: 一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。
  • 定义：如果a能被b整除，那么a就是b的倍数。
  • 特点：一个数的倍数有无限个，最小的倍数是它本身。
  • 求法：用这个数分别乘以1, 2, 3, ...所得的积。
  • 举例：3的倍数有3, 6, 9, 12, ...
• 因数: 一个整数能够整除另一个整数，这个整数就是另一个整数的因数。
  • 定义：如果a能整除b，那么a就是b的因数。
  • 特点：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
  • 求法：列举法，从1开始，找到能够整除该数的全部整数。
  • 举例：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12。

二、 特殊的数

• 0:
  • 是任何非零自然数的倍数。
  • 不是任何数的因数。
• 1:
  • 是任何非零自然数的因数。
  • 只有一个因数，就是它本身。
• 2:
  • 偶数：能被2整除的数。
  • 奇数：不能被2整除的数。

三、 特征

• 2的倍数: 个位上是0, 2, 4, 6, 8的数。
  • 特点：所有偶数都是2的倍数。
• 5的倍数: 个位上是0或5的数。
• 3的倍数: 各位数字之和是3的倍数的数。
  • 判定方法：将各位数字相加，如果和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

四、 分类

• 按因数的个数分:
  • 质数（素数）: 只有1和它本身两个因数的数。
    • 定义：大于1的自然数，除了1和它本身没有其他因数。
    • 特点：质数只有两个因数。
    • 最小的质数是2。
    • 100以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
  • 合数: 除了1和它本身，还有其他因数的数。
    • 定义：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数。
    • 特点：合数至少有三个因数。
    • 最小的合数是4。
  • 1: 既不是质数也不是合数。
• 按能否被2整除分：
  • 偶数
  • 奇数

五、 重要概念与方法

• 公倍数: 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
  • 定义：既是甲数的倍数，又是乙数的倍数。
  • 举例：6和8的公倍数有24, 48, 72, ...
• 最小公倍数 (LCM): 几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
  • 定义：几个数公有的倍数中最小的一个。
  • 求法：
    • 列举法：列出各数的倍数，找出最小的公倍数。
    • 短除法：将几个数同时除以它们的公因数，直到商互质，然后将所有的除数和最后的商相乘。
    • 特殊情况：如果两个数互质，它们的最小公倍数是它们的乘积；如果大数是小数的倍数，那么大数就是它们的最小公倍数。
• 公因数: 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
  • 定义：既是甲数的因数，又是乙数的因数。
  • 举例：12和18的公因数有1, 2, 3, 6。
• 最大公因数 (GCF): 几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
  • 定义：几个数公有的因数中最大的一个。
  • 求法：
    • 列举法：列出各数的因数，找出最大的公因数。
    • 短除法：将几个数同时除以它们的公因数，直到商互质，然后将所有的除数相乘。
    • 特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公因数是1；如果小数是大小的因数，那么小数就是它们的最大公因数。
• 互质数: 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
  • 定义：公因数只有1的两个数。
  • 特点：相邻的两个自然数一定是互质数。
  • 举例：8和9互质。
• 分解质因数: 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
  • 定义：将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。
  • 方法：短除法。
  • 表示：用乘法的形式表示，例如：12 = 2 × 2 × 3

六、 应用

• 解决实际问题:
  • 例如：铺地砖，分组问题，周期性问题等。
• 分数的约分和通分:
  • 约分：将分数化成最简分数，需要找到分子和分母的最大公因数。
  • 通分：将几个分数化成同分母的分数，需要找到分母的最小公倍数。
• 简化计算:
  • 例如：利用因数和倍数的性质，简化乘法和除法计算。

七、 注意事项

• 理解概念的本质，不要死记硬背。
• 掌握各种求法，灵活运用。
• 多做练习，提高解题能力。
• 注意细节，避免错误。 例如，0 不是任何数的因数， 1 既不是质数也不是合数。