一元二次函数方程不等式思维导图

## 《一元二次函数方程不等式思维导图》 **一、核心概念与相互联系** * **一元二次函数：** * 定义：`f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)` * 图像：抛物线 * 开口方向：`a > 0` 开口向上，`a < 0` 开口向下 * 对称轴：`x = -b / 2a` * 顶点坐标：`(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)` * 最值：`a > 0` 有最小值，`a < 0` 有最大值，在顶点处取得 * 性质：单调性（对称轴两侧），奇偶性（当b=0时，为偶函数），周期性（无） * **一元二次方程：** * 定义：`ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)` * 判别式：`Δ = b² - 4ac` * `Δ > 0`：有两个不相等的实数根 * `Δ = 0`：有两个相等的实数根 * `Δ < 0`：没有实数根 * 根与系数关系（韦达定理）：`x₁ + x₂ = -b / a`，`x₁x₂ = c / a` * 求根公式：`x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a` * **一元二次不等式：** * 定义：`ax² + bx + c > 0` 或 `ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)` (也包含≥, ≤) * 解法：图像法，穿根法 * 解集：取决于 `a` 的符号和 `Δ` 的符号 * **相互联系：** * 函数图像与x轴的交点对应方程的根 * 不等式的解集对应函数图像在x轴上方或下方的部分 * 判别式 `Δ` 决定了方程根的情况，也决定了函数图像与x轴的交点个数，从而影响不等式的解集 **二、函数** * **图像变换：** * 平移：左加右减，上加下减（`f(x ± a)` 水平移动，`f(x) ± b` 竖直移动） * 对称：关于x轴对称 ` -f(x)`，关于y轴对称 `f(-x)`，关于原点对称 `-f(-x)` * 伸缩：水平伸缩 `f(ax)`， 竖直伸缩 `af(x)` * **函数性质的应用：** * 判断根的个数、正负 * 求解与函数值有关的方程或不等式 * 求函数的最值 * **零点问题：** * 零点存在性定理 * 结合函数图像分析零点个数 **三、方程** * **根的判定：** * 直接求解 * 利用判别式 `Δ` * 结合函数图像判断根的个数和正负 * **根的分布：** * 根在指定区间内 * 两个根之间的大小关系 * 需要考虑：判别式 `Δ`、根与系数关系、函数在区间端点的值的符号 * **特殊方程：** * 可化为一元二次方程的方程（例如：分式方程，无理方程） * 含参数方程的讨论 **四、不等式** * **解法：** * `a > 0` 时，`ax² + bx + c > 0` 或 `ax² + bx + c < 0` 的解集 * `a < 0` 时，`ax² + bx + c > 0` 或 `ax² + bx + c < 0` 的解集 * 穿根法（数轴标根法）：适用于高次不等式，一元二次不等式是其特例 * **不等式的恒成立问题：** * 转化成求函数的最值问题 * 根据函数的图像和性质判断不等式是否恒成立 * `f(x) > 0` 恒成立 <=> `f(x)min > 0` * `f(x) < 0` 恒成立 <=> `f(x)max < 0` * **参数范围的确定：** * 结合不等式的解集和根的分布 * 利用不等式的性质进行求解 * 注意检验端点值 **五、综合应用** * **数形结合思想：**利用函数图像解决方程、不等式问题 * **转化与化归思想：**将复杂问题转化为简单问题 * **分类讨论思想：**针对不同情况进行讨论，例如参数的取值范围 * **整体代换思想：**将一部分式子看作一个整体进行计算 * **实际问题：**建立数学模型，利用一元二次函数、方程、不等式解决实际问题（例如：利润最大化，成本最小化） **六、易错点总结** * 忽略二次项系数 `a` 的符号 * 忘记检验不等式解集的端点值 * 错误理解根与系数关系 * 解不等式时，不注意同解变形 * 对不等式恒成立问题的理解不到位 **七、思维导图示例（文本描述）：** 一元二次函数方程不等式 / | \ / | \ 函数 方程 不等式 / | \ / | \ / | \ 性质 图像 变换 判别 韦达 应用 解法 恒成 参数 以上是对一元二次函数、方程、不等式的一个较为全面的梳理，包含其核心概念、相互联系、解题方法、应用以及易错点。 通过掌握这些内容，并结合思维导图进行整理，可以更有效地理解和运用这些知识解决问题。

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