《一元二次函数方程不等式思维导图》
一、核心概念与相互联系
-
一元二次函数：
- 定义：
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) - 图像：抛物线
- 开口方向：
a > 0开口向上，a < 0开口向下 - 对称轴：
x = -b / 2a - 顶点坐标：
(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) - 最值：
a > 0有最小值，a < 0有最大值，在顶点处取得 - 性质：单调性（对称轴两侧），奇偶性（当b=0时，为偶函数），周期性（无）
- 定义：
-
一元二次方程：
- 定义：
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) - 判别式：
Δ = b² - 4acΔ > 0：有两个不相等的实数根Δ = 0：有两个相等的实数根Δ < 0：没有实数根
- 根与系数关系（韦达定理）：
x₁ + x₂ = -b / a，x₁x₂ = c / a - 求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
- 定义：
-
一元二次不等式：
- 定义：
ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)(也包含≥, ≤) - 解法：图像法，穿根法
- 解集：取决于
a的符号和Δ的符号
- 定义：
-
相互联系：
- 函数图像与x轴的交点对应方程的根
- 不等式的解集对应函数图像在x轴上方或下方的部分
- 判别式
Δ决定了方程根的情况，也决定了函数图像与x轴的交点个数，从而影响不等式的解集
二、函数
-
图像变换：
- 平移：左加右减，上加下减（
f(x ± a)水平移动，f(x) ± b竖直移动） - 对称：关于x轴对称
-f(x)，关于y轴对称f(-x)，关于原点对称-f(-x) - 伸缩：水平伸缩
f(ax)， 竖直伸缩af(x)
- 平移：左加右减，上加下减（
-
函数性质的应用：
- 判断根的个数、正负
- 求解与函数值有关的方程或不等式
- 求函数的最值
-
零点问题：
- 零点存在性定理
- 结合函数图像分析零点个数
三、方程
-
根的判定：
- 直接求解
- 利用判别式
Δ - 结合函数图像判断根的个数和正负
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根的分布：
- 根在指定区间内
- 两个根之间的大小关系
- 需要考虑：判别式
Δ、根与系数关系、函数在区间端点的值的符号
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特殊方程：
- 可化为一元二次方程的方程（例如：分式方程，无理方程）
- 含参数方程的讨论
四、不等式
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解法：
a > 0时，ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的解集a < 0时，ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的解集- 穿根法（数轴标根法）：适用于高次不等式，一元二次不等式是其特例
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不等式的恒成立问题：
- 转化成求函数的最值问题
- 根据函数的图像和性质判断不等式是否恒成立
f(x) > 0恒成立 <=>f(x)min > 0f(x) < 0恒成立 <=>f(x)max < 0
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参数范围的确定：
- 结合不等式的解集和根的分布
- 利用不等式的性质进行求解
- 注意检验端点值
五、综合应用
- 数形结合思想：利用函数图像解决方程、不等式问题
- 转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题
- 分类讨论思想：针对不同情况进行讨论，例如参数的取值范围
- 整体代换思想：将一部分式子看作一个整体进行计算
- 实际问题：建立数学模型，利用一元二次函数、方程、不等式解决实际问题（例如：利润最大化，成本最小化）
六、易错点总结
- 忽略二次项系数
a的符号 - 忘记检验不等式解集的端点值
- 错误理解根与系数关系
- 解不等式时，不注意同解变形
- 对不等式恒成立问题的理解不到位
七、思维导图示例（文本描述）：
一元二次函数方程不等式
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/ | \
函数 方程 不等式
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性质 图像 变换 判别 韦达 应用 解法 恒成 参数以上是对一元二次函数、方程、不等式的一个较为全面的梳理，包含其核心概念、相互联系、解题方法、应用以及易错点。 通过掌握这些内容，并结合思维导图进行整理，可以更有效地理解和运用这些知识解决问题。