函数思维导图高清图

# 《函数思维导图高清图》

## 一、函数概念与定义

### 1.1 函数的定义

*   **基本定义:** 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x), x∈A.
*   **定义域:** 集合A叫做函数的定义域，记作D。
*   **值域:** 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，记作C。
*   **对应法则:** 确定x与f(x)之间对应关系的规则f。

### 1.2 函数的三要素

*   **定义域:**  决定函数的自变量取值范围。
    *   常见求法：
        *   使解析式有意义
        *   使实际问题有意义
*   **值域:** 函数所有可能的输出值的集合。
    *   常见求法：
        *   直接法
        *   配方法
        *   反函数法
        *   判别式法
        *   单调性法
        *   换元法
        *   不等式法
        *   几何意义法
*   **对应法则:** 确定输入和输出之间关系的规则。

### 1.3 函数的表示方法

*   **解析法:** 用数学公式表示函数。
*   **列表法:**  用表格列出一些自变量和对应的函数值。
*   **图像法:**  用图形表示函数。

## 二、函数的基本性质

### 2.1 单调性

*   **单调增函数:**  设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D上的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
*   **单调减函数:**  设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D上的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
*   **判断方法:**
    *   定义法：取值、作差、变形、定号
    *   导数法：f'(x) > 0 增函数; f'(x) < 0 减函数
    *   复合函数：同增异减
*   **应用:**
    *   比较大小
    *   解不等式
    *   求最值

### 2.2 奇偶性

*   **偶函数:**  对于定义域内任意x，都有f(-x) = f(x)。图像关于y轴对称。
*   **奇函数:**  对于定义域内任意x，都有f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
*   **判断方法:**
    *   定义法：验证f(-x)与f(x)的关系
    *   图像法：观察图像是否关于y轴或原点对称
*   **性质:**
    *   奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同
    *   偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反

### 2.3 周期性

*   **定义:**  存在非零常数T，对于定义域内任意x，都有f(x+T) = f(x)。T为函数的一个周期。
*   **常见周期:**  T, 2T, ...
*   **判断方法:**  验证是否存在常数T满足f(x+T) = f(x)

### 2.4 对称性

*   **关于直线x=a对称:** f(a+x) = f(a-x)
*   **关于点(a,0)对称:** f(a+x) + f(a-x) = 0
*   **应用:**
    *   求函数值
    *   简化函数表达式

## 三、常见的函数类型

### 3.1 一次函数

*   **形式:** y = kx + b (k≠0)
*   **图像:** 一条直线
*   **性质:**
    *   k > 0, 单调递增
    *   k < 0, 单调递减

### 3.2 二次函数

*   **形式:** y = ax² + bx + c (a≠0)
*   **图像:** 抛物线
*   **性质:**
    *   a > 0, 开口向上，有最小值
    *   a < 0, 开口向下，有最大值
    *   顶点坐标: (-b/2a, (4ac-b²)/4a)
    *   对称轴: x = -b/2a

### 3.3 指数函数

*   **形式:** y = aˣ (a > 0, a≠1)
*   **图像:**
    *   a > 1, 单调递增，过(0,1)
    *   0 < a < 1, 单调递减，过(0,1)
*   **性质:**
    *   值域: (0, +∞)

### 3.4 对数函数

*   **形式:** y = logₐx (a > 0, a≠1)
*   **图像:**
    *   a > 1, 单调递增，过(1,0)
    *   0 < a < 1, 单调递减，过(1,0)
*   **性质:**
    *   定义域: (0, +∞)
    *   值域: (-∞, +∞)

### 3.5 幂函数

*   **形式:** y = xᵃ (α ∈ R)
*   **图像:**  随α的变化而变化
*   **性质:**  随α的变化而变化，考虑α为整数、正数、负数等情况。

### 3.6 三角函数

*   **正弦函数:** y = sinx
*   **余弦函数:** y = cosx
*   **正切函数:** y = tanx
*   **周期性:** 都是周期函数
*   **奇偶性:** sinx是奇函数，cosx是偶函数

## 四、函数的应用

### 4.1 函数与方程

*   函数的零点: f(x) = 0 的解
*   函数图像与x轴的交点
*   零点存在性定理: 若f(a)f(b) < 0，则(a,b)内必存在零点

### 4.2 函数建模

*   实际问题转化为数学模型
*   分析问题、建立函数关系式
*   求解函数模型
*   解释结果

### 4.3 最值问题

*   利用函数性质求最值
*   导数法求最值
*   不等式法求最值

## 五、函数变换

### 5.1 平移变换

*   左加右减: y = f(x+a)
*   上加下减: y = f(x) + b

### 5.2 对称变换

*   关于x轴对称: y = -f(x)
*   关于y轴对称: y = f(-x)
*   关于原点对称: y = -f(-x)

### 5.3 伸缩变换

*   横向伸缩: y = f(ax)
*   纵向伸缩: y = af(x)

## 六、复合函数

### 6.1 定义

*   y = f(g(x))，g(x)的值域是f(x)定义域的子集。

### 6.2 定义域

*   g(x)的值域与f(x)的定义域的交集。

### 6.3 单调性

*   同增异减。
*   先求内函数单调性，再求外函数单调性。

《函数思维导图高清图》

一、函数概念与定义

1.1 函数的定义

基本定义: 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x), x∈A.
定义域: 集合A叫做函数的定义域，记作D。
值域: 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，记作C。
对应法则: 确定x与f(x)之间对应关系的规则f。

1.2 函数的三要素

定义域: 决定函数的自变量取值范围。
- 常见求法：
  - 使解析式有意义
  - 使实际问题有意义
值域: 函数所有可能的输出值的集合。
- 常见求法：
  - 直接法
  - 配方法
  - 反函数法
  - 判别式法
  - 单调性法
  - 换元法
  - 不等式法
  - 几何意义法
对应法则: 确定输入和输出之间关系的规则。

1.3 函数的表示方法

解析法: 用数学公式表示函数。
列表法: 用表格列出一些自变量和对应的函数值。
图像法: 用图形表示函数。

二、函数的基本性质

2.1 单调性

单调增函数: 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D上的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
单调减函数: 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于区间D上的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。
判断方法:
- 定义法：取值、作差、变形、定号
- 导数法：f'(x) > 0 增函数; f'(x) < 0 减函数
- 复合函数：同增异减
应用:
- 比较大小
- 解不等式
- 求最值

2.2 奇偶性

偶函数: 对于定义域内任意x，都有f(-x) = f(x)。图像关于y轴对称。
奇函数: 对于定义域内任意x，都有f(-x) = -f(x)。图像关于原点对称。
判断方法:
- 定义法：验证f(-x)与f(x)的关系
- 图像法：观察图像是否关于y轴或原点对称
性质:
- 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同
- 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反

2.3 周期性

定义: 存在非零常数T，对于定义域内任意x，都有f(x+T) = f(x)。T为函数的一个周期。
常见周期: T, 2T, ...
判断方法: 验证是否存在常数T满足f(x+T) = f(x)

2.4 对称性

关于直线x=a对称: f(a+x) = f(a-x)
关于点(a,0)对称: f(a+x) + f(a-x) = 0
应用:
- 求函数值
- 简化函数表达式

三、常见的函数类型

3.1 一次函数

形式: y = kx + b (k≠0)
图像: 一条直线
性质:
- k > 0, 单调递增
- k < 0, 单调递减

3.2 二次函数

形式: y = ax² + bx + c (a≠0)
图像: 抛物线
性质:
- a > 0, 开口向上，有最小值
- a < 0, 开口向下，有最大值
- 顶点坐标: (-b/2a, (4ac-b²)/4a)
- 对称轴: x = -b/2a

3.3 指数函数

形式: y = aˣ (a > 0, a≠1)
图像:
- a > 1, 单调递增，过(0,1)
- 0 < a < 1, 单调递减，过(0,1)
性质:
- 值域: (0, +∞)

3.4 对数函数

形式: y = logₐx (a > 0, a≠1)
图像:
- a > 1, 单调递增，过(1,0)
- 0 < a < 1, 单调递减，过(1,0)
性质:
- 定义域: (0, +∞)
- 值域: (-∞, +∞)

3.5 幂函数

形式: y = xᵃ (α ∈ R)
图像: 随α的变化而变化
性质: 随α的变化而变化，考虑α为整数、正数、负数等情况。

3.6 三角函数

正弦函数: y = sinx
余弦函数: y = cosx
正切函数: y = tanx
周期性: 都是周期函数
奇偶性: sinx是奇函数，cosx是偶函数

四、函数的应用

4.1 函数与方程

函数的零点: f(x) = 0 的解
函数图像与x轴的交点
零点存在性定理: 若f(a)f(b) < 0，则(a,b)内必存在零点

4.2 函数建模

实际问题转化为数学模型
分析问题、建立函数关系式
求解函数模型
解释结果

4.3 最值问题

利用函数性质求最值
导数法求最值
不等式法求最值

五、函数变换

5.1 平移变换

左加右减: y = f(x+a)
上加下减: y = f(x) + b

5.2 对称变换

关于x轴对称: y = -f(x)
关于y轴对称: y = f(-x)
关于原点对称: y = -f(-x)

5.3 伸缩变换

横向伸缩: y = f(ax)
纵向伸缩: y = af(x)

六、复合函数

6.1 定义

y = f(g(x))，g(x)的值域是f(x)定义域的子集。

6.2 定义域

g(x)的值域与f(x)的定义域的交集。

6.3 单调性

同增异减。
先求内函数单调性，再求外函数单调性。

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