《数分一思维导图》

一、 极限与连续

1.1 数列极限

1.1.1 数列极限的定义

• ε-N 定义
  • 几何解释：邻域的概念
  • 逻辑表达：∀ε>0, ∃N>0, s.t. ∀n>N, |a_n - a| < ε
• 数列极限的唯一性
• 数列极限的有界性

1.1.2 数列极限的性质

• 保号性
• 保不等式性
• 迫敛性 (夹逼定理)
• 单调有界定理

1.1.3 数列极限的计算

• 直接利用定义
• 利用极限的四则运算
• 利用迫敛性 (夹逼定理)
• 利用单调有界定理
• Stolz 定理

1.2 函数极限

1.2.1 函数极限的定义

• ε-δ 定义 (函数在某点的极限)
  • 几何解释：邻域的概念
  • 逻辑表达：∀ε>0, ∃δ>0, s.t. ∀x, 0 < |x - x_0| < δ, |f(x) - A| < ε
• 单侧极限
  • 左极限：x -> x_0-
  • 右极限：x -> x_0+
• 无穷极限
  • 正无穷：f(x) -> +∞
  • 负无穷：f(x) -> -∞
  • 极限存在的充要条件：左极限 = 右极限

1.2.2 函数极限的性质

• 函数极限的唯一性
• 函数极限的局部有界性
• 函数极限的局部保号性
• 函数极限与数列极限的关系 (海涅定理)

1.2.3 函数极限的计算

• 直接利用定义
• 利用极限的四则运算
• 利用迫敛性 (夹逼定理)
• 利用两个重要极限
  • lim (sin x)/x = 1 (x -> 0)
  • lim (1 + 1/x)^x = e (x -> ∞)
• 洛必达法则
  • 0/0 型
  • ∞/∞ 型
  • 0 * ∞ 型
  • ∞ - ∞ 型
  • 1^∞ 型, 0^0 型, ∞^0 型

1.3 函数的连续性

1.3.1 连续性的定义

• 点连续
  • lim f(x) = f(x_0) (x -> x_0)
  • 左连续
  • 右连续
• 区间连续

1.3.2 间断点

• 第一类间断点
  • 可去间断点
  • 跳跃间断点
• 第二类间断点
  • 无穷间断点
  • 振荡间断点

1.3.3 连续函数的性质

• 局部有界性
• 局部保号性
• 有界闭区间上连续函数的性质
  • 有界性定理
  • 最值定理
  • 介值定理
  • 零点定理
• 一致连续性
  • 定义：∀ε>0, ∃δ>0, s.t. ∀x, y ∈ I, |x - y| < δ, |f(x) - f(y)| < ε
  • Cantor 一致连续定理：闭区间上的连续函数一致连续

二、 微分学

2.1 导数与微分

2.1.1 导数的定义

• 定义式
  • f'(x_0) = lim (f(x_0 + h) - f(x_0))/h (h -> 0)
• 单侧导数
  • 左导数
  • 右导数
• 导数的几何意义：切线的斜率
• 导数的物理意义：变化率

2.1.2 微分的定义

• 定义式
  • dy = f'(x) dx
• 微分的几何意义：切线的增量
• 可导与可微的关系：等价

2.1.3 导数的计算

• 基本求导公式
• 导数的四则运算
• 复合函数求导 (链式法则)
• 反函数求导
• 隐函数求导
• 参数方程求导
• 高阶导数

2.2 微分中值定理

2.2.1 罗尔定理

• 条件
  • f(x) 在 [a, b] 上连续
  • f(x) 在 (a, b) 上可导
  • f(a) = f(b)
• 结论
  • ∃ξ ∈ (a, b), s.t. f'(ξ) = 0

2.2.2 拉格朗日中值定理

• 条件
  • f(x) 在 [a, b] 上连续
  • f(x) 在 (a, b) 上可导
• 结论
  • ∃ξ ∈ (a, b), s.t. f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)

2.2.3 柯西中值定理

• 条件
  • f(x), g(x) 在 [a, b] 上连续
  • f(x), g(x) 在 (a, b) 上可导
  • g'(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b)
• 结论
  • ∃ξ ∈ (a, b), s.t. (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(ξ)/g'(ξ)

2.2.4 泰勒公式

• 带皮亚诺余项的泰勒公式
• 带拉格朗日余项的泰勒公式

2.3 导数的应用

2.3.1 函数的单调性

• f'(x) > 0, 则 f(x) 单调递增
• f'(x) < 0, 则 f(x) 单调递减

2.3.2 函数的极值与最值

• 极值的必要条件：f'(x_0) = 0 或 f'(x_0) 不存在
• 极值的充分条件
  • 一阶导数判别法
  • 二阶导数判别法
• 最值的求法：比较区间内极值点和端点的值

2.3.3 函数的凹凸性与拐点

• 凹凸性的定义
• 凹凸性的判定：二阶导数的符号
• 拐点的定义
• 拐点的求法：f''(x) = 0 或 f''(x) 不存在的点

2.3.4 函数的渐近线

• 水平渐近线
• 垂直渐近线
• 斜渐近线

2.3.5 函数的图像

• 根据单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线等信息绘制函数图像

三、 一元函数积分学

3.1 不定积分

3.1.1 不定积分的定义

• 原函数
• 不定积分的定义

3.1.2 不定积分的性质

• 线性性质
• 积分与微分互逆

3.1.3 不定积分的计算

• 基本积分公式
• 凑微分法 (第一类换元法)
• 第二类换元法
• 分部积分法

3.2 定积分

3.2.1 定积分的定义

• 分割、近似求和、取极限
• 可积的条件：连续函数必可积，有界且只有有限个间断点的函数可积

3.2.2 定积分的性质

• 线性性质
• 积分区间可加性
• 积分中值定理

3.2.3 定积分的计算

• 牛顿-莱布尼茨公式
• 换元积分法
• 分部积分法

3.2.4 反常积分

• 无穷区间上的反常积分
• 无界函数的反常积分 (瑕积分)
• 反常积分的收敛判别法

3.3 定积分的应用

3.3.1 平面图形的面积

• 直角坐标系下
• 极坐标系下

3.3.2 旋转体的体积

• 绕 x 轴旋转
• 绕 y 轴旋转

3.3.3 曲线弧长

• 直角坐标系下
• 参数方程下

3.3.4 定积分的物理应用

• 变力做功
• 液体静压力

四、 级数

4.1 数项级数

4.1.1 级数的定义

• 级数、部分和、收敛、发散

4.1.2 正项级数的判别法

• 比较判别法
• 比值判别法 (达朗贝尔判别法)
• 根值判别法 (柯西判别法)
• 积分判别法

4.1.3 一般项级数的判别法

• 交错级数 (莱布尼茨判别法)
• 绝对收敛
• 条件收敛
• Dirichlet 判别法
• Abel 判别法

4.2 函数项级数

4.2.1 函数项级数的定义

• 收敛域、收敛函数

4.2.2 一致收敛

• 定义
• 一致收敛的判别法
  • M 判别法 (魏尔斯特拉斯判别法)
  • Abel 判别法
  • Dirichlet 判别法

4.2.3 一致收敛级数的性质

• 和函数的连续性
• 积分与极限的交换顺序
• 微分与极限的交换顺序

4.3 幂级数

4.3.1 幂级数的定义

4.3.2 Abel 定理

• 收敛半径、收敛区间、收敛域

4.3.3 幂级数的运算

• 逐项求导
• 逐项积分

4.3.4 泰勒级数

• 泰勒级数展开
• 麦克劳林级数
• 常见函数的泰勒级数展开式
  • e^x
  • sin x
  • cos x
  • (1 + x)^α
  • ln(1 + x)

4.4 傅里叶级数

4.4.1 傅里叶级数的定义

• 三角级数
• 正交函数系

4.4.2 Dirichlet 收敛定理

4.4.3 傅里叶级数的展开

• 展开成正弦级数
• 展开成余弦级数

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