高中数学必修一第一章思维导图
《高中数学必修一第一章思维导图》
一、集合与常用逻辑用语
1. 集合
1.1 集合的概念
1.1.1 集合的定义
- 具有某种特定性质的对象的全体构成一个集合。
- 集合中的对象称为元素。
1.1.2 集合元素的性质
- 确定性：给定一个集合，任给一个元素，它要么是该集合的元素，要么不是，不能模棱两可。
- 互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素只能算作一个。
- 无序性：集合中的元素没有次序关系。
1.1.3 集合的表示方法
- 列举法：将集合的元素一一列举出来，写在大括号内。
- 描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合。 {x | p(x)}，其中 p(x) 描述元素 x 的性质。
- 韦恩图法：用封闭曲线的内部表示集合。
1.1.4 常用数集及其记法
- 自然数集：N
- 正整数集：N* 或 N+
- 整数集：Z
- 有理数集：Q
- 实数集：R
1.2 集合间的基本关系
1.2.1 子集
- 定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A为集合B的子集，记作A ⊆ B (或 B ⊇ A)。
- 真子集：如果A ⊆ B，且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A ⊂ B (或 B ⊃ A)。
- 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.2.2 集合相等
1.3 集合的基本运算
1.3.1 并集
- 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。
1.3.2 交集
- 定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
1.3.3 补集
- 定义：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA，即∁UA = {x | x ∈ U，且x ∉ A}。 U 称为全集。
2. 常用逻辑用语
2.1 命题及其关系
2.1.1 命题
- 定义：可以判断真假的语句叫做命题。
- 真命题：判断为真的命题。
- 假命题：判断为假的命题。
2.1.2 命题的构成
- 原命题：若p，则q。
- 逆命题：若q，则p。
- 否命题：若¬p，则¬q。
- 逆否命题：若¬q，则¬p。
2.1.3 四种命题的关系
- 原命题与逆否命题同真同假。
- 逆命题与否命题同真同假。
2.2 充分条件与必要条件
2.2.1 充分条件
2.2.2 必要条件
2.2.3 充要条件
2.3 简单的逻辑联结词
2.3.1 或 (∨)
- p∨q：p和q至少有一个为真，则p∨q为真；p和q都为假，则p∨q为假。
2.3.2 且 (∧)
- p∧q：p和q都为真，则p∧q为真；p和q至少有一个为假，则p∧q为假。
2.3.3 非 (¬)
2.4 全称量词与存在量词
2.4.1 全称量词
- 符号：∀
- 含有全称量词的命题：全称命题。
- 例如：∀x ∈ A，p(x) 表示 A 中所有元素 x 都有 p(x) 成立。
2.4.2 存在量词
- 符号：∃
- 含有存在量词的命题：特称命题。
- 例如：∃x ∈ A，p(x) 表示 A 中存在元素 x 使 p(x) 成立。
2.4.3 全称命题与特称命题的否定
- 全称命题的否定：∀x ∈ A，p(x) 的否定是 ∃x ∈ A，¬p(x)。
- 特称命题的否定：∃x ∈ A，p(x) 的否定是 ∀x ∈ A，¬p(x)。
