《高中必修二数学思维导图》

一、空间几何初步

1.1 空间几何体的结构

1.1.1 柱体

• 定义: 由两个全等且平行的平面多边形（底面）以及连接这两个底面的各个边上的所有线段组成的几何体。
• 分类:
  • 直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱
  • 斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱
  • 正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱
• 性质:
  • 底面是全等的多边形
  • 侧棱平行且相等
  • 直棱柱的侧棱长等于高
• 表面积:
  • S = 2S_底 + S_侧

1.1.2 锥体

• 定义: 由一个平面多边形（底面）和一个不在该平面内的点（顶点）以及连接这个顶点与底面上各顶点的所有线段组成的几何体。
• 分类:
  • 正棱锥: 底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面中心
• 性质:
  • 正棱锥的各个侧棱相等
  • 正棱锥的各个侧面是全等的三角形
• 表面积:
  • S = S_底 + S_侧

1.1.3 台体

• 定义: 用一个平行于锥体底面的平面去截锥体，截面和底面之间的部分叫做台体。
• 分类:
  • 正棱台: 由正棱锥截得的台体
• 表面积:
  • S = S_上底 + S_下底 + S_侧

1.1.4 球体

• 定义: 空间中到定点的距离等于定长的点的集合。
• 性质:
  • 球心到球面上任意一点的距离等于球的半径
• 表面积:
  • S = 4πR²

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 三视图

• 定义: 正视图、侧视图、俯视图
• 规则: 长对正，高平齐，宽相等
• 用途: 了解空间几何体的形状和大小

1.2.2 直观图

• 定义: 斜二测画法
• 步骤:
  1. 建立坐标系: x轴和y'轴垂直，z轴铅直向上
  2. 画底面: 水平放置的线段长度不变，竖直放置的线段长度减半，角度为45度
  3. 画高: 与z轴平行，长度不变
  4. 连接成图

1.3 空间几何体的表面积和体积

1.3.1 表面积

• 棱柱: S = 2S_底 + S_侧
• 棱锥: S = S_底 + S_侧
• 棱台: S = S_上底 + S_下底 + S_侧
• 圆柱: S = 2πr² + 2πrl
• 圆锥: S = πr² + πrl
• 圆台: S = π(r² + R² + rl + Rl)
• 球: S = 4πR²

1.3.2 体积

• 棱柱: V = S_底h
• 棱锥: V = (1/3)S_底h
• 棱台: V = (1/3)h(S_上底 + S_下底 + √(S_上底S_下底))
• 圆柱: V = πr²h
• 圆锥: V = (1/3)πr²h
• 圆台: V = (1/3)πh(r² + R² + rR)
• 球: V = (4/3)πR³

二、点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 公理

• 公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
• 公理2: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
• 公理3: 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
• 公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2.1.2 位置关系

• 直线与直线: 相交、平行、异面
• 直线与平面: 在平面内、平行、相交
• 平面与平面: 相交、平行

2.2 直线、平面平行与垂直的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行

• 判定定理: 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
• 性质定理: 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2.2.2 平面与平面平行

• 判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
• 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2.2.3 直线与平面垂直

• 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
• 性质定理: 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

2.2.4 平面与平面垂直

• 判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
• 性质定理: 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.3 简单的立体几何计算

2.3.1 距离计算

• 点到点的距离
• 点到直线的距离
• 点到平面的距离
• 直线到直线的距离 (异面直线)
• 直线到平面的距离
• 平面到平面的距离

2.3.2 角度计算

• 异面直线所成的角
• 直线与平面所成的角
• 二面角

三、直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角

• 定义: 直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角。
• 范围: [0, π)

3.1.2 斜率

• 定义: 倾斜角的正切值 (k = tanα)。
• 计算: k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) (x₁ ≠ x₂)

3.2 直线的方程

3.2.1 点斜式

• y - y₁ = k(x - x₁)

3.2.2 斜截式

• y = kx + b

3.2.3 两点式

• (y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁) (x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂)

3.2.4 截距式

• x/a + y/b = 1

3.2.5 一般式

• Ax + By + C = 0

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 直线的交点坐标

• 联立两条直线方程，解方程组。

3.3.2 距离公式

• 两点间的距离: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
• 点到直线的距离: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
• 平行线间的距离: d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²) (Ax + By + C₁ = 0, Ax + By + C₂ = 0)

3.4 两条直线的位置关系

3.4.1 平行

• k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ (斜截式)
• A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ (一般式)

3.4.2 相交

• k₁ ≠ k₂ (斜截式)
• A₁/A₂ ≠ B₁/B₂ (一般式)

3.4.3 重合

• k₁ = k₂, b₁ = b₂ (斜截式)
• A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ (一般式)

3.4.4 垂直

• k₁k₂ = -1 (斜截式)
• A₁A₂ + B₁B₂ = 0 (一般式)

四、圆与方程

4.1 圆的方程

4.1.1 标准方程

• (x - a)² + (y - b)² = r² (圆心(a, b), 半径r)

4.1.2 一般方程

• x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (D² + E² - 4F > 0)
• 圆心 (-D/2, -E/2), 半径 r = √(D² + E² - 4F)/2

4.2 直线与圆的位置关系

4.2.1 位置关系

• 相交: d < r
• 相切: d = r
• 相离: d > r
• (d为圆心到直线的距离)

4.2.2 判断方法

• 几何法: 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断。
• 代数法: 联立直线与圆的方程，判别式 Δ > 0 相交, Δ = 0 相切, Δ < 0 相离。

4.3 圆与圆的位置关系

4.3.1 位置关系

• 外离: d > R + r
• 外切: d = R + r
• 相交: R - r < d < R + r
• 内切: d = |R - r|
• 内含: d < |R - r|
• (d为两圆圆心距, R, r 为两圆半径)

4.3.2 判断方法

• 通过圆心距与半径的关系判断。

4.4 空间直角坐标系 (仅作了解)

• 空间直角坐标系 Oxyz
• 空间两点间距离公式：√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

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