《北师大版五年级上册数学思维导图》

一、小数除法

1.1 除数是整数的小数除法

• 核心概念： 将小数除法转化为整数除法，商的小数点与被除数的小数点对齐。
• 计算方法：
  • 按照整数除法的法则计算。
  • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  • 除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
• 注意事项：
  • 数位对齐，不够时补0。
  • 商的小数点必须对齐被除数的小数点。
  • 余数添0继续除的理解。
• 应用：
  • 平均分问题。
  • 单价计算。
  • 简单的行程问题。

1.2 除数是小数的小数除法

• 核心概念： 利用商不变的性质，将除数转化为整数，再按照除数是整数的小数除法计算。
• 计算方法：
  • 移动除数的小数点，使它变成整数。
  • 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用“0”补足）。
  • 按照除数是整数的小数除法进行计算。
• 注意事项：
  • 小数点移动的方向和位数。
  • 被除数位数不够的补0问题。
  • 验算方法（乘法）。
• 应用：
  • 单位换算。
  • 解决复杂平均分问题。
  • 速度、时间、路程问题。

1.3 商的近似数

• 核心概念： 根据实际需要，保留一定位数的小数。
• 取近似数的方法：
  • 四舍五入法。
  • 进一法。
  • 去尾法。
• 应用场景：
  • 单价计算（精确到分、角）。
  • 材料购买（根据实际需求取近似值）。
  • 生活中的实际问题。
• 易错点：
  • 混淆三种取近似数的方法。
  • 没有理解题目要求，随意取近似值。

1.4 循环小数

• 核心概念： 小数部分，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数。
• 定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 表示方法： 在循环节的首位和末位数字上各点一个点。
• 循环节： 循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字。
• 有限小数和无限小数： 小数部分的位数是有限的小数是有限小数；小数部分的位数是无限的小数是无限小数。
• 循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。
• 应用： 近似计算。

1.5 用计算器探索规律

• 核心技能： 熟练使用计算器进行小数除法运算。
• 探索方法： 通过观察计算结果，寻找数字之间的规律。
• 应用： 预测更大的数字的除法结果。

二、轴对称和平移

2.1 轴对称图形

• 核心概念： 如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
• 特点：
  • 对称轴是一条直线。
  • 轴对称图形沿对称轴对折，两边完全重合。
  • 对称点到对称轴的距离相等。
• 常见轴对称图形： 正方形、长方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、正五边形、正六边形等。
• 判断方法： 观察、对折。

2.2 平移

• 核心概念： 物体沿直线移动的运动。
• 特点：
  • 平移的方向。
  • 平移的距离。
  • 平移只是位置的改变，形状和大小不变。
• 描述平移： 确定平移的方向和距离。
• 应用： 图案设计、图形变换。

2.3 绘制轴对称图形的另一半

• 步骤：
  1. 找出关键点。
  2. 确定对称点的位置（到对称轴的距离相等）。
  3. 连接对称点。

2.4 设计图案

• 方法： 结合轴对称和平移进行图案设计。

三、倍数与因数

3.1 倍数和因数

• 核心概念： 在整数范围内，如果a÷b=c（a、b、c都是整数，且b≠0），那么a是b的倍数，b是a的因数。
• 关系： 倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。
• 寻找方法：
  • 列乘法算式。
  • 列除法算式。
• 特点：
  • 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
  • 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3.2 2、5、3的倍数的特征

• 2的倍数： 个位上是0、2、4、6、8的数。
• 5的倍数： 个位上是0或5的数。
• 3的倍数： 各个数位上的数字之和是3的倍数。
• 同时是2和5的倍数： 个位上是0。
• 应用： 快速判断一个数是否是2、5、3的倍数。

3.3 质数和合数

• 质数： 只有1和它本身两个因数的数。
• 合数： 除了1和它本身以外还有别的因数的数。
• 1既不是质数，也不是合数。
• 最小的质数是2，最小的合数是4。
• 分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

3.4 公因数和最大公因数

• 公因数： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
• 最大公因数： 几个数公有的因数中，最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
• 互质数： 公因数只有1的两个数，叫做互质数。
• 寻找方法：
  • 列举法。
  • 短除法。
• 应用： 分解质因数、约分。

3.5 公倍数和最小公倍数

• 公倍数： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
• 最小公倍数： 几个数公有的倍数中，最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
• 寻找方法：
  • 列举法。
  • 短除法。
• 应用： 通分、解决实际问题。

四、多边形的面积

4.1 平行四边形的面积

• 核心概念： 平行四边形的面积 = 底 × 高 (S = ah)
• 推导过程： 将平行四边形转化为长方形。
• 关键： 找到对应的底和高。

4.2 三角形的面积

• 核心概念： 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
• 推导过程： 将两个完全相同的三角形拼成平行四边形。
• 关键： 找到对应的底和高，注意除以2。

4.3 梯形的面积

• 核心概念： 梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
• 推导过程： 将两个完全相同的梯形拼成平行四边形。
• 关键： 找到上底、下底和高，注意除以2。

4.4 不规则图形的面积

• 方法：
  • 分割法：将不规则图形分割成规则图形。
  • 填补法：将不规则图形填补成规则图形。
  • 数方格法：用方格纸估计面积。
• 关键： 灵活运用各种方法，选择合适的策略。

4.5 公顷、平方千米

• 单位换算：
  • 1公顷 = 10000平方米
  • 1平方千米 = 100公顷 = 1000000平方米
• 应用： 解决实际问题，如土地面积计算。

五、分数的意义

5.1 分数的再认识

• 核心概念： 把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
• 分数单位： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数。
• 分数线、分子、分母的意义。

5.2 真分数和假分数

• 真分数： 分子比分母小的分数（真分数小于1）。
• 假分数： 分子大于或等于分母的分数（假分数大于或等于1）。
• 带分数： 整数和真分数合成的数。
• 假分数化为整数或带分数，带分数化为假分数。

5.3 分数的基本性质

• 核心概念： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
• 应用： 约分和通分。

5.4 约分

• 定义： 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
• 最简分数： 分子和分母只有公因数1的分数。

5.5 通分

• 定义： 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
• 步骤：
  1. 求出原来几个分母的最小公倍数。
  2. 把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数。
• 应用： 分数大小比较、分数加减法。

5.6 分数与小数的互化

• 小数化分数： 看是几位小数，就写成分母是10、100、1000……的分数，再化简。
• 分数化小数： 用分子除以分母，除不尽时，按要求保留几位小数。

六、可能性

6.1 可能性的大小

• 核心概念： 可能性是指事件发生的概率大小。
• 影响因素：
  • 数量：数量越多，可能性越大。
  • 比例：占总数的比例越大，可能性越大。
• 公平性： 保证每个事件发生的可能性相等。
• 简单应用： 根据事件发生的可能性大小进行决策。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 朝花夕拾思维导图清晰 简单漂亮