《苏教版五年级上册数学第五单元小数乘法和除法思维导图》

中心主题：小数乘法和除法

一、小数乘法

1. 意义

• 整数乘法的意义的扩展： 求几个相同加数的和的简便运算。
• 一个数乘小数的意义： 求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
  • 例：1.5 × 0.8 表示 1.5 的十分之八是多少。

2. 计算法则

• 步骤：
  1. 先按照整数乘法算出积。
  2. 数一数因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  3. 积的小数部分末尾有0的，一般要去掉末尾的0化简。
• 关键： 确定小数点的位置（数清所有因数的小数位数）。
• 易错点：
  • 忘记数小数位数。
  • 小数点位置点错。
  • 积的末尾忘记化简。

3. 估算

• 方法： 将小数近似看作整数进行计算。
• 注意： 根据实际情况，选择四舍五入、进一法或去尾法。
• 应用： 检验计算结果的合理性。

4. 简便计算

• 乘法交换律： a × b = b × a
• 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
• 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c (a - b) × c = a × c - b × c
• 运用： 将小数转化为整数，利用运算定律简化计算过程。
• 注意： 观察算式特征，选择合适的运算定律。

5. 积的变化规律

• 一个因数不变，另一个因数扩大(缩小)到原来的多少倍，积也扩大(缩小)到原来的多少倍。
• 一个因数扩大到原来的a倍，另一个因数扩大到原来的b倍，积扩大到原来的a×b倍。
• 应用： 简化计算，解决实际问题。

6. 解决问题

• 类型：
  • 求总价。
  • 求面积。
  • 求体积。
  • 实际生活中的应用。
• 步骤：
  1. 理解题意，分析数量关系。
  2. 列出算式，进行计算。
  3. 检验结果，写出答案。
• 注意： 结合实际情况进行计算，例如：需要保留几位小数。

二、小数除法

1. 意义

• 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2. 除数是整数的小数除法

• 计算方法： 按照整数除法的方法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
• 特殊情况：
  • 整数部分不够商1，商0占位。
  • 除到被除数末尾仍有余数，添0继续除。

3. 除数是小数的小数除法

• 计算方法：
  1. 先移动除数的小数点，使它变成整数。
  2. 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
  3. 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
• 关键： 移动小数点，使除数变为整数。
• 易错点：
  • 忘记移动小数点。
  • 小数点移动位数错误。
  • 被除数位数不够时忘记补0。

4. 商的近似数

• 方法： 根据需要，用“四舍五入”法、"进一法"、"去尾法"保留一定的小数位数。
• 注意：
  • 精确到哪一位，就看它的下一位。
  • 根据实际情况选择取近似值的方法（例如，涉及装东西的问题通常使用进一法）。

5. 循环小数

• 定义： 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
• 循环节： 循环小数中，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
• 表示方法： 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点或者在循环节上画一条横线。
• 有限小数与无限小数：
  • 小数部分的位数是有限的，叫做有限小数。
  • 小数部分的位数是无限的，叫做无限小数。
  • 循环小数是无限小数。

6. 除法中的变化规律

• 一个数(0除外)除以大于1的数，商比被除数小。
• 一个数(0除外)除以小于1的数，商比被除数大。

7. 解决问题

• 类型：
  • 平均分问题。
  • 单价、数量、总价之间的关系。
  • 归一问题、归总问题。
  • 实际生活中的应用。
• 步骤：
  1. 理解题意，分析数量关系。
  2. 列出算式，进行计算。
  3. 检验结果，写出答案。
• 注意：
  • 结合实际情况进行计算，例如：需要保留几位小数。
  • 明确数量关系，选择正确的计算方法。

三、综合应用

• 混合运算： 掌握运算顺序，先乘除后加减，有括号的先算括号里面的。
• 解决实际问题： 能够灵活运用小数乘法和除法的知识解决生活中的实际问题。
• 提高解题能力： 通过练习，提高分析问题、解决问题的能力。

四、重点与难点

• 重点： 掌握小数乘法和除法的计算方法，并能正确进行计算。
• 难点： 确定小数点的位置，理解商的近似数，解决实际问题。
• 突破方法： 加强练习，多做题，总结经验，归纳规律。

五、学习方法建议

• 注重基础： 熟练掌握小数乘法和除法的计算法则。
• 加强练习： 多做练习题，提高计算能力。
• 联系实际： 将所学知识应用于实际生活中，提高解决问题的能力。
• 及时复习： 定期复习，巩固所学知识。
• 善于总结： 总结解题方法和技巧，提高学习效率。

这个思维导图旨在帮助五年级学生系统地学习和理解小数乘法和除法，通过明确概念、掌握计算方法、理解变化规律和解决实际问题，从而提高数学学习能力。希望学生们能够认真学习，勤加练习，取得优异的成绩！

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