《六年级上数的整数和整除思维导图》

一、整数及其性质

1.1 整数的定义与分类

• 定义： 像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数统称为整数。
• 分类：
  • 按正负性分：
    • 正整数：大于0的整数，如1、2、3等。
    • 零：既不是正整数也不是负整数。
    • 负整数：小于0的整数，如-1、-2、-3等。
  • 按奇偶性分：
    • 奇数：不能被2整除的整数，如1、3、5等。
    • 偶数：能被2整除的整数，如0、2、4等。
      • 特别注意：0是偶数。

1.2 整数的运算

• 加法： 遵循加法交换律和结合律。
• 减法： 是加法的逆运算。
• 乘法： 遵循乘法交换律、结合律和分配律。
• 除法： 是乘法的逆运算，注意除数不能为0。
• 运算顺序： 先乘除，后加减，有括号先算括号里的。

1.3 数的表示

• 数位顺序表： 个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位...
• 计数单位： 个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿...
• 数的读法： 从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的0不读，中间连续几个0只读一个零。
• 数的写法： 从高位到低位，一级一级地写，哪一位上一个单位也没有，就写0占位。
• 数的改写： 将较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
  • 方法：去掉末尾的几个0，换上“万”或“亿”字。
• 近似数： 用四舍五入法求近似数。

二、整除的概念

2.1 整除的定义

• 定义： 整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
• 表示： a÷b = c (c为整数)，记作 b|a

2.2 约数和倍数

• 约数/因数： 如果整数a能被整数b整除，那么b就叫做a的约数（或因数）。
• 倍数： 如果整数a能被整数b整除，那么a就叫做b的倍数。
• 关系： 约数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
• 特点：
  • 一个数的约数的个数是有限的。
  • 一个数的倍数的个数是无限的。
  • 1是任何非零整数的约数。
  • 任何非零整数都是它自身的约数。
  • 一个数的最小倍数是它本身。

2.3 找约数和倍数的方法

• 找约数：
  • 列除法算式，找出所有能整除该数的除数。
  • 成对出现，避免遗漏。
• 找倍数：
  • 用该数依次乘以1、2、3、4…

三、数的整除的特征

3.1 2、5、3的倍数特征

• 2的倍数特征： 个位是0、2、4、6、8的数。
• 5的倍数特征： 个位是0或5的数。
• 3的倍数特征： 各个数位上的数字之和是3的倍数。

3.2 其他倍数特征（补充）

• 4的倍数特征： 末两位是4的倍数。
• 8的倍数特征： 末三位是8的倍数。
• 9的倍数特征： 各个数位上的数字之和是9的倍数。
• 11的倍数特征： 奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数（或0）。

3.3 利用倍数特征解决问题

• 判断一个数是否是某个数的倍数。
• 根据倍数特征填数字。
• 解决实际问题，例如分组、分配等。

四、质数和合数

4.1 质数和合数的定义

• 质数： 只有1和它本身两个约数的数。也称为素数。
• 合数： 除了1和它本身以外，还有其他约数的数。
• 特殊数： 1既不是质数，也不是合数。
• 最小的质数： 2
• 最小的合数： 4

4.2 100以内的质数表

• 熟记100以内的质数，提高解题速度。
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

4.3 分解质因数

• 定义： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
• 方法： 短除法。
• 作用：
  • 求最大公约数和最小公倍数。
  • 化简分数。

五、公约数和公倍数

5.1 公约数和最大公约数

• 公约数： 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
• 最大公约数： 几个数公有的约数中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
• 互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。
  • 两个质数一定是互质数。
  • 相邻的两个自然数一定是互质数。
• 求最大公约数的方法：
  • 列举法：找出所有公约数，然后找出最大的。
  • 短除法：用所有数的公约数去除，直到所得的商都是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
  • 分解质因数法：先将每个数分解质因数，然后找出它们公有的质因数，将这些公有的质因数相乘。

5.2 公倍数和最小公倍数

• 公倍数： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。
• 最小公倍数： 几个数公有的倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
• 求最小公倍数的方法：
  • 列举法：找出所有公倍数，然后找出最小的。
  • 短除法：用所有数的公约数去除，直到所得的商都是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘起来。
  • 分解质因数法：先将每个数分解质因数，然后找出它们独有的和公有的质因数，将这些质因数相乘。
• 特殊情况：
  • 如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。
  • 如果两个数中，大数是小数的倍数，那么大数就是它们的最小公倍数。

5.3 最大公约数和最小公倍数的应用

• 约分： 用最大公约数约分。
• 通分： 用最小公倍数通分。
• 解决实际问题，例如：
  • 铺地砖问题。
  • 植树问题。
  • 周期问题。
  • 分组问题。

六、经典例题与拓展

• 例题分析： 针对重点知识点和常见题型进行详细分析。
• 拓展练习： 提供一些具有挑战性的题目，提高解题能力。
• 易错点总结： 归纳学生容易犯的错误，避免类似错误再次发生。

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