数学五年级上册思维导图：倍数与因数
一、核心概念
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A. 因数（因子）
- 定义：一个整数能被另一个整数整除，那么前者就是后者的倍数，后者就是前者的因数。
- 关键词：整除，能被，除尽
- 特点：
- 因数个数有限。
- 最小的因数是1。
- 最大的因数是它本身。
- 一个数的因数一定小于等于它本身。
- 例子：12的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 12
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B. 倍数
- 定义：一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的倍数。
- 关键词：整除，是...的
- 特点：
- 倍数个数无限。
- 最小的倍数是它本身。
- 没有最大的倍数。
- 一个数的倍数一定大于等于它本身。
- 例子：3的倍数有：3, 6, 9, 12, 15...
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C. 整除
- 定义：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
- 关键词：整数，除尽，无余数
- 注意：除数不能为0。
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D. 质数（素数）
- 定义：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
- 特点：
- 只有两个因数。
- 最小的质数是2。
- 2是唯一的偶数质数。
- 例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
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E. 合数
- 定义：一个数除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数叫做合数。
- 特点：
- 至少有三个因数。
- 最小的合数是4。
- 例子：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15...
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F. 1
- 既不是质数，也不是合数。
- 只有1个因数（它本身）。
二、重要特征
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A. 2的倍数特征
- 个位上是0, 2, 4, 6, 8的数。
- 偶数。
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B. 5的倍数特征
- 个位上是0或5的数。
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C. 3的倍数特征
- 各个数位上的数字之和是3的倍数。
- 例子：123 (1+2+3=6, 6是3的倍数，所以123是3的倍数)
三、相关概念与应用
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A. 最大公因数（最大公约数）
- 定义：几个数公有的因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
- 求法：
- 列举法：列出所有因数，找出公共因数，取最大的。
- 短除法：用几个数公有的质因数连续去除，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来。
- 辗转相除法（欧几里得算法）：用大数除以小数，再用除数去除余数，依次下去，直到余数为0为止，最后的除数就是最大公因数。
- 互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。
- 两个质数一定是互质数。
- 相邻的两个自然数一定是互质数。
- 1和任何自然数互质。
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B. 最小公倍数
- 定义：几个数公有的倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
- 求法：
- 列举法：列出所有倍数，找出公共倍数，取最小的。
- 短除法：用几个数公有的质因数连续去除，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数和商连乘起来。
- 特殊情况：
- 如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
- 如果大数是小数的倍数，那么大数就是它们的最小公倍数。
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C. 分解质因数
- 定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
- 方法：
- 短除法：用质数去除，直到商是质数为止。
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D. 应用题类型
- 求最大公因数类：
- 分东西：将一定数量的物品平均分给若干人，每人分得的最多数量即为最大公因数。
- 裁割材料：将一定尺寸的材料裁成大小相同的正方形/长方形，求正方形/长方形的最大边长。
- 求最小公倍数类：
- 周期问题：两个或多个事件同时发生后，再次同时发生的时间间隔即为最小公倍数。
- 排队问题：若干人排队，每行人数不同，求总人数最少是多少。
- 求最大公因数类：
四、易错点
- 区分因数和倍数，注意描述时的方向性。
- 判断一个数是否是3的倍数时，容易算错各位数字之和。
- 求最大公因数和最小公倍数时，短除法容易漏乘商或忘记除数。
- 分解质因数时，必须用质数除，不能用合数。
- 误认为所有的偶数都是合数，忽略了2是质数。
- 混淆质数和互质数。
五、思维拓展
- 奇数和偶数的性质：
- 奇数 ± 奇数 = 偶数
- 偶数 ± 偶数 = 偶数
- 奇数 ± 偶数 = 奇数
- 奇数 × 奇数 = 奇数
- 偶数 × 偶数 = 偶数
- 奇数 × 偶数 = 偶数
- 利用最大公因数和最小公倍数简化分数运算。
- 更复杂的数论问题，例如完全数、亲和数等。