《部编七年级下数学知识点思维导图》

一、整式的运算

• （一）幂的运算

  • 同底数幂的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)
    • 性质：底数不变，指数相加
    • 注意：底数相同，才能使用
  • 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)
    • 性质：底数不变，指数相乘
  • 积的乘方：(ab)^n = a^n * b^n
    • 性质：每个因式分别乘方
  • 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0, m>n)
    • 性质：底数不变，指数相减
    • a⁰ = 1 (a≠0)
    • a⁻ᵖ = 1/aᵖ (a≠0)
  • 零指数幂：任何非零数的零次幂都等于1
  • 负整数指数幂：任何非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数

• （二）整式的乘法

  • 单项式乘以单项式：系数相乘，相同字母相乘，单独字母照抄。
  • 单项式乘以多项式：m(a+b+c) = ma + mb + mc
    • 步骤：转化为单项式乘以单项式
  • 多项式乘以多项式：(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn
    • 步骤：按顺序逐项相乘

• （三）乘法公式

  • 平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²
    • 特征：两个数的和与这两个数的差的积
  • 完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²
    • (a-b)² = a² - 2ab + b²
    • 特征：两数和（差）的平方

• （四）整式的除法

  • 单项式除以单项式：系数相除，相同字母相除，单独字母照抄。
  • 多项式除以单项式：(am+bm+cm)÷m = a+b+c
    • 步骤：转化为单项式除以单项式

二、平行线的有关证明

• （一）相交线与平行线

  • 对顶角：两条直线相交所形成的只有公共端点而没有公共边的两个角叫做对顶角。
    • 性质：对顶角相等
  • 邻补角：两条直线相交所成的两个角，若有一个公共顶点和一条公共边，则这两个角互为邻补角。
    • 性质：互为邻补角的两个角互补。
  • 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。交点叫做垂足。
    • 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
  • 同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截，位置关系符合定义的角。

• （二）平行线的判定

  • 同位角相等，两直线平行
  • 内错角相等，两直线平行
  • 同旁内角互补，两直线平行

• （三）平行线的性质

  • 两直线平行，同位角相等
  • 两直线平行，内错角相等
  • 两直线平行，同旁内角互补

• （四）平移

  • 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
  • 性质：
    • 平移不改变图形的形状和大小。
    • 经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。

• （五）命题、定理与证明

  • 命题：判断一件事情的语句叫做命题。
  • 定理：经过证明的命题叫做定理。
  • 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
  • 证明的基本步骤：
    1. 明确命题的条件和结论，根据题意，画出图形。
    2. 根据条件、结论，结合图形，用数学符号表示已知和求证。
    3. 经过分析，找出由已知推出要证结论的途径，写出证明过程。

三、三角形

• （一）三角形的边与角

  • 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
  • 三角形的内角和：三角形三个内角的和等于180°。
  • 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。
    • 外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

• （二）三角形的高、中线与角平分线

  • 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
  • 中线：连接三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
  • 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

• （三）三角形的稳定性

  • 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。

• （四）多边形及其内角和

  • 多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
  • 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
  • 多边形内角和公式：(n-2) * 180° (n≥3)
  • 多边形外角和：多边形的外角和等于360°。

四、二元一次方程组

• （一）二元一次方程（组）

  • 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
  • 二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
  • 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程同时成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

• （二）解二元一次方程组

  • 代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  • 加减消元法：利用加减法消去方程组中的一个未知数，将方程组转化为一元一次方程求解。

• （三）二元一次方程组的应用

  • 审题：理解题意，弄清题目中的已知条件和未知数，以及各种数量关系。
  • 设未知数：一般直接设未知数，也有间接设未知数。
  • 列方程组：根据数量关系，列出方程组。
  • 解方程组：选择适当的方法，解这个方程组。
  • 检验：检验所求的解是否符合题意。
  • 答：写出答案。

五、不等式与不等式组

• （一）不等式的基本概念

  • 不等号：>，<，≥，≤，≠
  • 不等式：用不等号连接的式子叫做不等式。
  • 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。
  • 不等式的解集：一个不等式的所有解的集合。

• （二）不等式的性质

  • 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
  • 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
  • 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

• （三）解一元一次不等式

  • 移项：把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
  • 合并同类项：把同类项合并成一项。
  • 系数化为1：不等式两边同时除以未知数的系数，注意不等号方向是否改变。

• （四）一元一次不等式组

  • 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。
  • 解集：不等式组中所有不等式的解集的公共部分。
  • 口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。
  • 解不等式组的步骤：
    1. 求出不等式组中各个不等式的解集。
    2. 利用数轴求出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集。

• （五）不等式与不等式组的应用

  • 与解二元一次方程组应用题类似，但要注意题目中表示大小关系的词语，如“至少”，“最多”，“不低于”等，正确列出不等式或不等式组。

六、数据的收集、整理与描述

• （一）数据的收集

  • 普查：考察全体对象的调查。
  • 抽样调查：抽取一部分对象进行调查。
  • 样本：被抽取的那些个体组成一个样本。
  • 样本容量：样本中个体的数目。
  • 抽样应注意的问题：样本的选取要具有代表性。

• （二）数据的整理

  • 统计表：将收集来的数据进行整理，用表格的形式展现。
  • 频数：每个对象出现的次数。
  • 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值。

• （三）数据的描述

  • 条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
  • 扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
  • 折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势。
  • 选择合适的统计图：根据不同数据的特点选择不同的统计图，以更直观地展示数据。

以上是七年级下数学的主要知识点，通过思维导图的方式梳理，可以帮助更好地理解和记忆。