《五上数学第五单元分数的意义和性质思维导图》

中心主题：分数的意义和性质

一级分支：一、分数的意义

• 二级分支：1. 分数的产生
  • 详细内容：
    • 当两个整数不能整除时，或者测量的结果不是整数时，可以用分数表示。
    • 例如：将3米平均分成4份，每份长多少米？ 答案：3/4米。
    • 分数是数的扩展，突破了整数范围的限制。
• 二级分支：2. 分数的意义
  • 详细内容：
    • 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
    • 单位“1”：一个物体、一个计量单位、一个整体等都可以看作单位“1”。
    • 关键理解：平均分，若干份，表示几份。
• 二级分支：3. 分数单位
  • 详细内容：
    • 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
    • 例如：3/5 的分数单位是1/5。
    • 分数单位的个数决定了分数的大小。
• 二级分支：4. 分数的分类
  • 详细内容：
    • 真分数：分子小于分母的分数。真分数小于1。
      • 举例： 1/2, 3/4, 5/8
    • 假分数：分子大于或等于分母的分数。假分数大于或等于1。
      • 举例：5/4, 7/7, 9/2
    • 带分数：由整数和真分数合成的分数。
      • 举例： 1又1/2, 2又3/4
• 二级分支：5. 分数与除法的关系
  • 详细内容：
    • a ÷ b = a/b (b≠0)
    • 被除数相当于分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。
    • 分数是一种数，除法是一种运算。
    • 应用：可以利用分数与除法的关系进行互化和计算。 例如：3 ÷ 5 = 3/5
• 二级分支：6. 分数与小数的互化
  • 详细内容：
    • 小数化分数：直接将小数改写成分母是10, 100, 1000… 的分数，然后化简。
      • 举例： 0.2 = 2/10 = 1/5; 0.25 = 25/100 = 1/4
    • 分数化小数：用分子除以分母。除不尽时，按要求保留小数位数。
      • 举例： 1/4 = 0.25; 1/3 = 0.333… (保留三位小数)
    • 有些分数可以化成有限小数，有些分数只能化成无限循环小数。 判断方法：一个最简分数，如果分母中只含有质因数2和5，就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，就不能化成有限小数。

一级分支：二、分数的性质

• 二级分支：1. 分数的基本性质
  • 详细内容：
    • 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
    • 强调：同时，相同，0除外。
    • 它是约分和通分的理论依据。
    • 例如： 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
• 二级分支：2. 约分
  • 详细内容：
    • 把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
    • 最简分数：分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数。
    • 约分的方法：
      • 逐次约分：逐步除以分子和分母的公因数，直到最简。
      • 一次约分：直接除以分子和分母的最大公因数。
• 二级分支：3. 通分
  • 详细内容：
    • 把几个分母不相同的分数分别化成和原来分数相等的分母相同的分数，叫做通分。
    • 公分母：通分时，通常用原来几个分母的最小公倍数作公分母。
    • 通分的方法：
      • 求出原来几个分母的最小公倍数。
      • 把各分数分别化成分母是这个最小公倍数的分数。
• 二级分支：4. 分数大小的比较
  • 详细内容：
    • 同分母分数：分子大的分数比较大。
    • 同分子分数：分母小的分数比较大。
    • 异分母分数：先通分，化成同分母分数，再比较大小。
    • 特殊情况：可以利用与1比较大小来判断。例如： 3/4 和 4/5 都可以看作是比1小多少来判断。

一级分支：三、假分数与带分数的互化

• 二级分支：1. 假分数化成整数或带分数
  • 详细内容：
    • 分子是分母的倍数时，能化成整数。 例如： 6/3 = 2
    • 分子不是分母的倍数时，能化成带分数。 例如： 7/3 = 2又1/3 (用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变)
• 二级分支：2. 带分数化成假分数
  • 详细内容：
    • 用整数部分乘分母加上分子作分子，分母不变。 例如： 2又1/3 = (2×3 + 1)/3 = 7/3

一级分支：四、应用

• 二级分支：1. 实际问题
  • 详细内容：
    • 利用分数的意义解决实际问题，例如：求一个数是另一个数的几分之几。
    • 利用分数的大小比较解决实际问题，例如：判断哪种方案更优惠。
• 二级分支：2. 拓展提高
  • 详细内容：
    • 复杂的通分、约分计算。
    • 分数与小数综合应用题。
    • 分数在几何图形中的应用。

备注：

• 思维导图旨在帮助学生系统性地理解和掌握分数的意义和性质，并能灵活运用相关知识解决问题。
• 建议结合课本例题和练习题进行复习和巩固。
• 理解概念是关键，熟练掌握方法是基础，灵活应用是目标。