《多边形思维导图八下》
一、 多边形的定义与分类
- 定义： 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形。
- 关键要素：
- 线段：构成多边形的边。
- 不在同一直线：避免线段重合或退化为直线。
- 首尾顺次相接：形成封闭图形。
- 平面图形：多边形是二维图形。
- 要素名称：
- 边：构成多边形的线段。
- 顶点：相邻两边的交点。
- 内角：多边形内部，相邻两边之间的夹角。
- 外角：多边形某一边与其相邻边的延长线组成的角。
- 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
- 分类：
- 凸多边形： 多边形任何一边所在直线，整个多边形都在这条直线的一侧。（或多边形任意两个顶点间的连线都在多边形内部）
- 凹多边形： 多边形存在某一边所在直线，使得多边形一部分位于这条直线的两侧。（或多边形存在两个顶点间的连线，部分位于多边形外部）
- 正多边形： 各边都相等，各角都相等的多边形。
二、 多边形的内角和
- 公式： n边形的内角和为 (n-2) * 180°，其中n ≥ 3且为整数。
- 推导方法：
- 分割法： 从n边形的一个顶点出发，连接该顶点与所有不相邻的顶点，可以将n边形分割成 (n-2) 个三角形。由于每个三角形的内角和为180°，因此n边形的内角和为 (n-2) * 180°。
- 应用：
- 已知多边形的边数，求内角和。
- 已知多边形的内角和，求边数。
- 求解与多边形内角相关的几何问题。
三、 多边形的外角和
- 定义： 多边形每个顶点处取一个外角，所有外角的和。
- 公式： 任何多边形的外角和都等于360°。
- 证明方法：
- n边形的每个内角与其相邻的外角之和为180°。
- n个内角和 n个外角的和为 n * 180°
- 因为内角和为(n-2) 180°，所以外角和为 n 180° - (n-2) * 180° = 360°。
- 应用：
- 已知多边形若干个外角的度数，求其余外角的度数。
- 求解与多边形外角相关的几何问题。
- 证明某些几何定理。
四、 正多边形
- 定义： 各边相等，各角也相等的多边形。
- 性质：
- 各个内角都相等，每个内角为 [(n-2) * 180°] / n。
- 各个外角都相等，每个外角为 360° / n。
- 正n边形是轴对称图形，如果是偶数边，也是中心对称图形。
- 常见正多边形：
- 正三角形（等边三角形）
- 正方形
- 正五边形
- 正六边形
- 正多边形的画法：
- 尺规作图： 一些正多边形可以用尺规精确作出，例如正三角形、正方形、正五边形等。
- 量角器和直尺： 先计算出每个内角的度数，然后用量角器和直尺逐步画出。
- 利用圆规和刻度尺: 先画一个圆，再利用圆规截取圆周等长的弧，连接各点。
- 重要结论：
- 任何正多边形都一定有外接圆和内切圆，且圆心是同一个点，称为正多边形的中心。
- 正多边形的中心角等于 360° / n。
- 正多边形的半径：外接圆的半径。
- 正多边形的边心距：内切圆的半径，也等于中心到边的距离。
五、 多边形的应用
- 几何问题： 求解多边形相关的角度、边长、面积等问题。
- 镶嵌（密铺）： 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。
- 条件： 正n边形可以镶嵌的条件是，正n边形的内角度数可以整除360°。 （360°/内角 = 整数，可镶嵌）
- 单独镶嵌： 正三角形、正方形、正六边形可以单独镶嵌。
- 组合镶嵌： 可以利用多种正多边形组合进行镶嵌。
- 生活中的应用：
- 建筑设计：多边形结构稳定，被广泛应用于建筑结构中。
- 艺术设计：多边形的美学价值被应用于各种艺术设计中。
- 机械制造：多边形零件在机械制造中扮演重要角色。
六、 易错点
- 混淆凸多边形和凹多边形的概念。
- 内角和公式(n-2)*180°中n必须为大于等于3的整数。
- 误认为只有正多边形才有外接圆和内切圆。 (只有正多边形才有同时存在外接圆和内切圆，且是同心圆)
- 计算多边形内角和、外角和时，忽略题目中的隐含条件。
- 镶嵌的条件理解不透彻。
七、 总结
掌握多边形的定义、分类、内角和、外角和、正多边形的性质以及应用，是解决多边形相关问题的关键。 在学习过程中，要注重理解概念，掌握公式，并结合实际问题进行练习，才能更好地掌握多边形的相关知识。要尤其注意正多边形和一般多边形的区别与联系，灵活运用各种性质和公式解决问题。