数学二次函数的思维导图
I. 定义与基本形式
- 定义: 形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。
- 一般式: f(x) = ax² + bx + c
- a:决定开口方向和开口大小。
- b:与a共同决定对称轴位置。
- c:决定与 y 轴的交点坐标 (0, c)。
- 顶点式: f(x) = a(x - h)² + k
- (h, k):顶点坐标。
- h = -b / 2a
- k = (4ac - b²) / 4a
- 交点式: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
- x₁, x₂:与 x 轴的交点(根)。
- 存在条件:Δ ≥ 0,即 b² - 4ac ≥ 0
- 三种形式之间的转换:
- 一般式 -> 顶点式:配方法
- 顶点式 -> 一般式:展开
- 一般式 -> 交点式:解方程 ax² + bx + c = 0 (求根)
II. 图象与性质
- 抛物线: 二次函数的图象。
- 开口方向:
- a > 0:开口向上,有最小值。
- a < 0:开口向下,有最大值。
- 对称轴: x = -b / 2a,或 x = h
- 顶点: (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a),或 (h, k)
- 与 y 轴的交点: (0, c)
- 与 x 轴的交点: 解方程 ax² + bx + c = 0
- Δ > 0:两个不同的交点。
- Δ = 0:一个交点(与 x 轴相切)。
- Δ < 0:没有交点。
- 平移变换:
- 左加右减,上加下减 (针对顶点式)。
- f(x) -> f(x - h) + k,表示向右平移 h 个单位,向上平移 k 个单位。
- 开口方向:
- 单调性:
- a > 0:在对称轴左侧单调递减,在对称轴右侧单调递增。
- a < 0:在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减。
- 最值:
- a > 0:有最小值,当 x = -b / 2a 时,f(x) = (4ac - b²) / 4a
- a < 0:有最大值,当 x = -b / 2a 时,f(x) = (4ac - b²) / 4a
- 区间最值: 需考虑对称轴与区间的关系,比较端点值和顶点值的大小。
- 奇偶性:
- 一般情况下,二次函数不是奇函数或偶函数。
- 当 b = 0 时,二次函数是偶函数,对称轴是 y 轴。
III. 应用
- 解决实际问题:
- 利润最大化:成本、售价、销售量之间的关系。
- 面积最大化:利用周长或边长关系建立二次函数模型。
- 抛物线运动轨迹:例如,投掷物体、喷泉等。
- 不等式:
- 解二次不等式:
- 转化为解方程 ax² + bx + c = 0,求根。
- 根据 a 的符号和根的情况,画出草图,确定不等式的解集。
- 恒成立问题:
- f(x) > 0 恒成立:a > 0 且 Δ < 0
- f(x) < 0 恒成立:a < 0 且 Δ < 0
- 在指定区间内恒成立:考虑端点值和顶点值,转化为最值问题。
- 解二次不等式:
- 方程的根:
- 判别式 Δ = b² - 4ac:判断根的个数和性质。
- 韦达定理:
- x₁ + x₂ = -b / a
- x₁x₂ = c / a
- 根的分布:
- 两根都在某区间内;两根分别在两个区间内;有且仅有一根在某区间内。
- 利用根的性质、判别式、区间端点值等进行分析。
- 与其他函数的结合:
- 复合函数:f(g(x)),分析内外层函数的性质。
- 分段函数:根据不同区间内的函数表达式进行分析。
IV. 重点难点
- 配方法: 将一般式转化为顶点式。
- 判别式: 判断根的情况。
- 顶点坐标的灵活运用: 求最值,确定对称轴。
- 根的分布问题: 综合运用根的性质、判别式、区间端点值。
- 数形结合思想: 利用抛物线的图象解决问题。
- 分类讨论思想: 针对不同情况进行分析。
- 不等式恒成立问题: 转化为最值问题或判别式问题。
V. 解题技巧
- 抓住关键点: 顶点、对称轴、与坐标轴的交点。
- 灵活选择函数形式: 根据题目条件选择合适的函数形式。
- 画图: 辅助理解题目,分析问题。
- 转化思想: 将复杂问题转化为简单问题。
- 注意隐含条件: 例如,二次项系数不为零。
- 验证答案: 确保答案的正确性。
VI. 易错点
- 忽略二次项系数不为零的条件。
- 对顶点坐标、对称轴公式记忆不准确。
- 配方法时符号错误。
- 判别式使用错误。
- 忽略区间端点值。
- 数形结合时图象不准确。
- 忽略讨论二次项系数的正负。
VII. 常用方法
- 配方法
- 判别式法
- 韦达定理法
- 数形结合法
- 分类讨论法
- 换元法