《高一不等式思维导图》

一、不等式的基本概念与性质

1.1 不等式的定义

• 用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接两个代数式，表示它们之间不等关系的式子。
• 关键: 不等号类型及不等关系的确定。

1.2 不等式的性质

• 对称性: a > b <=> b < a
• 传递性: a > b, b > c => a > c
• 加法性质: a > b => a + c > b + c
• 乘法性质:
  • c > 0, a > b => ac > bc
  • c < 0, a > b => ac < bc
• 推论：
  • a > b, c > d => a + c > b + d (同向不等式可加性)
  • a > b > 0, c > d > 0 => ac > bd (同向同正不等式可乘性)
  • a > b > 0 => aⁿ > bⁿ (n ∈ N^*, n > 1)
  • a > b > 0 => ⁿ√a > ⁿ√b (n ∈ N^*, n > 1)
• 注意: 乘法性质中系数的正负对不等号的影响。

1.3 重要不等式

• 基本不等式 (均值不等式):
  • a, b ∈ R⁺, (a+b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当 a = b 时取等号。
  • 推广：a₁, a₂, ..., a_n ∈ R⁺, (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...a_n)，当且仅当 a₁ = a₂ = ... = a_n 时取等号。
• 常见变形:
  • a + b ≥ 2√(ab)
  • (a+b)/2 ≥ √(ab) => a+b ≥ 2√(ab)
  • ab ≤ ((a+b)/2)²
  • a² + b² ≥ 2ab
• 应用: 求最值问题 (注意“一正二定三相等”的条件)。

二、不等式的解法

2.1 一元一次不等式

• 形如 ax > b (或 <, ≥, ≤) 的不等式。
• 解法:
  • a > 0 时，x > b/a (或 <, ≥, ≤)
  • a < 0 时，x < b/a (或 >, ≤, ≥)
  • a = 0 时，
    • b < 0，不等式恒成立
    • b > 0，不等式无解
    • b = 0，x ∈ R (当为≥, ≤ 时), 无解(当为>, < 时)

2.2 一元二次不等式

• 形如 ax² + bx + c > 0 (或 <, ≥, ≤) 的不等式 (a ≠ 0)。
• 解法:
  • 判别式 Δ = b² - 4ac 的正负:
    • Δ > 0: 方程 ax² + bx + c = 0 有两个不相等的实根 x₁, x₂ (x₁ < x₂)。
      • a > 0: ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂}；ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}。
      • a < 0: 转化成 a > 0 的情况。
    • Δ = 0: 方程 ax² + bx + c = 0 有两个相等的实根 x₁ = x₂ = -b/2a。
      • a > 0: ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ -b/2a}；ax² + bx + c ≥ 0 的解集为 R；ax² + bx + c < 0 的解集为 Ø；ax² + bx + c ≤ 0 的解集为 {x | x = -b/2a}。
      • a < 0: 转化成 a > 0 的情况。
    • Δ < 0: 方程 ax² + bx + c = 0 无实根。
      • a > 0: ax² + bx + c > 0 的解集为 R；ax² + bx + c < 0 的解集为 Ø。
      • a < 0: 转化成 a > 0 的情况。
  • 穿根法 (数轴标根法):适用于高次不等式。

2.3 分式不等式

• 形如 f(x)/g(x) > 0 (或 <, ≥, ≤) 的不等式。
• 解法:
  • 转化成整式不等式: f(x)/g(x) > 0 <=> f(x)g(x) > 0 (注意 g(x) ≠ 0)
  • 注意分母不能为零。

2.4 绝对值不等式

• 含有绝对值符号的不等式。
• 解法:
  • |x| < a (a > 0) <=> -a < x < a
  • |x| > a (a > 0) <=> x < -a 或 x > a
  • |ax + b| < c (c > 0) <=> -c < ax + b < c
  • |ax + b| > c (c > 0) <=> ax + b < -c 或 ax + b > c
  • 零点分段法：求解较为复杂的绝对值不等式。
• 性质:
  • |a + b| ≤ |a| + |b|
  • |a - b| ≥ | |a| - |b| |

三、不等式的应用

3.1 求最值

• 利用基本不等式求最值：
  • 若 x + y = S (定值), 则当 x = y 时, xy 取得最大值 (S/2)²
  • 若 xy = P (定值), 则当 x = y 时, x + y 取得最小值 2√P
• 配方法、判别式法等。

3.2 解决实际问题

• 建立不等式模型，求解实际问题。

3.3 函数性质的应用

• 利用单调性、奇偶性等性质解决不等式问题。

四、线性规划 (简单了解)

4.1 二元一次不等式表示平面区域

• 直线 Ax + By + C = 0 将平面分成三个部分：
  • Ax + By + C > 0 的区域
  • Ax + By + C < 0 的区域
  • Ax + By + C = 0 的区域
• 判断方法：取特殊点代入不等式进行判断。

4.2 线性规划问题

• 目标函数：要求最大值或最小值的函数。
• 约束条件：满足的一组线性不等式。
• 可行域：满足约束条件的区域。
• 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。
• 解法：图解法。

五、易错点总结

• 不等式性质中乘法性质对系数正负的讨论。
• 基本不等式取等号的条件验证 (一正二定三相等)。
• 解分式不等式时，分母不能为零。
• 绝对值不等式的化简，注意分类讨论。
• 忽视题目中隐含的限制条件。
• 线性规划中可行域的准确画法。

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