高一不等式思维导图

《高一不等式思维导图》

一、不等式的基本概念与性质

1.1 不等式的定义

  • 用不等号(>, <, ≥, ≤, ≠)连接两个代数式,表示它们之间不等关系的式子。
  • 关键: 不等号类型及不等关系的确定。

1.2 不等式的性质

  • 对称性: a > b <=> b < a
  • 传递性: a > b, b > c => a > c
  • 加法性质: a > b => a + c > b + c
  • 乘法性质:
    • c > 0, a > b => ac > bc
    • c < 0, a > b => ac < bc
  • 推论:
    • a > b, c > d => a + c > b + d (同向不等式可加性)
    • a > b > 0, c > d > 0 => ac > bd (同向同正不等式可乘性)
    • a > b > 0 => an > bn (n ∈ N*, n > 1)
    • a > b > 0 => n√a > n√b (n ∈ N*, n > 1)
  • 注意: 乘法性质中系数的正负对不等号的影响。

1.3 重要不等式

  • 基本不等式 (均值不等式):
    • a, b ∈ R+, (a+b)/2 ≥ √(ab),当且仅当 a = b 时取等号。
    • 推广:a1, a2, ..., an ∈ R+, (a1 + a2 + ... + an)/n ≥ n√(a1a2...an),当且仅当 a1 = a2 = ... = an 时取等号。
  • 常见变形:
    • a + b ≥ 2√(ab)
    • (a+b)/2 ≥ √(ab) => a+b ≥ 2√(ab)
    • ab ≤ ((a+b)/2)2
    • a2 + b2 ≥ 2ab
  • 应用: 求最值问题 (注意“一正二定三相等”的条件)。

二、不等式的解法

2.1 一元一次不等式

  • 形如 ax > b (或 <, ≥, ≤) 的不等式。
  • 解法:
    • a > 0 时,x > b/a (或 <, ≥, ≤)
    • a < 0 时,x < b/a (或 >, ≤, ≥)
    • a = 0 时,
      • b < 0,不等式恒成立
      • b > 0,不等式无解
      • b = 0,x ∈ R (当为≥, ≤ 时), 无解(当为>, < 时)

2.2 一元二次不等式

  • 形如 ax2 + bx + c > 0 (或 <, ≥, ≤) 的不等式 (a ≠ 0)。
  • 解法:
    • 判别式 Δ = b2 - 4ac 的正负:
      • Δ > 0: 方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等的实根 x1, x2 (x1 < x2)。
        • a > 0: ax2 + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x1 或 x > x2};ax2 + bx + c < 0 的解集为 {x | x1 < x < x2}。
        • a < 0: 转化成 a > 0 的情况。
      • Δ = 0: 方程 ax2 + bx + c = 0 有两个相等的实根 x1 = x2 = -b/2a。
        • a > 0: ax2 + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ -b/2a};ax2 + bx + c ≥ 0 的解集为 R;ax2 + bx + c < 0 的解集为 Ø;ax2 + bx + c ≤ 0 的解集为 {x | x = -b/2a}。
        • a < 0: 转化成 a > 0 的情况。
      • Δ < 0: 方程 ax2 + bx + c = 0 无实根。
        • a > 0: ax2 + bx + c > 0 的解集为 R;ax2 + bx + c < 0 的解集为 Ø。
        • a < 0: 转化成 a > 0 的情况。
    • 穿根法 (数轴标根法):适用于高次不等式。

2.3 分式不等式

  • 形如 f(x)/g(x) > 0 (或 <, ≥, ≤) 的不等式。
  • 解法:
    • 转化成整式不等式: f(x)/g(x) > 0 <=> f(x)g(x) > 0 (注意 g(x) ≠ 0)
    • 注意分母不能为零。

2.4 绝对值不等式

  • 含有绝对值符号的不等式。
  • 解法:
    • |x| < a (a > 0) <=> -a < x < a
    • |x| > a (a > 0) <=> x < -a 或 x > a
    • |ax + b| < c (c > 0) <=> -c < ax + b < c
    • |ax + b| > c (c > 0) <=> ax + b < -c 或 ax + b > c
    • 零点分段法:求解较为复杂的绝对值不等式。
  • 性质:
    • |a + b| ≤ |a| + |b|
    • |a - b| ≥ | |a| - |b| |

三、不等式的应用

3.1 求最值

  • 利用基本不等式求最值:
    • 若 x + y = S (定值), 则当 x = y 时, xy 取得最大值 (S/2)2
    • 若 xy = P (定值), 则当 x = y 时, x + y 取得最小值 2√P
  • 配方法、判别式法等。

3.2 解决实际问题

  • 建立不等式模型,求解实际问题。

3.3 函数性质的应用

  • 利用单调性、奇偶性等性质解决不等式问题。

四、线性规划 (简单了解)

4.1 二元一次不等式表示平面区域

  • 直线 Ax + By + C = 0 将平面分成三个部分:
    • Ax + By + C > 0 的区域
    • Ax + By + C < 0 的区域
    • Ax + By + C = 0 的区域
  • 判断方法:取特殊点代入不等式进行判断。

4.2 线性规划问题

  • 目标函数:要求最大值或最小值的函数。
  • 约束条件:满足的一组线性不等式。
  • 可行域:满足约束条件的区域。
  • 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解。
  • 解法:图解法。

五、易错点总结

  • 不等式性质中乘法性质对系数正负的讨论。
  • 基本不等式取等号的条件验证 (一正二定三相等)。
  • 解分式不等式时,分母不能为零。
  • 绝对值不等式的化简,注意分类讨论。
  • 忽视题目中隐含的限制条件。
  • 线性规划中可行域的准确画法。
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