《不等式与不等式组思维导图》

一、不等式的基本概念

1.1 不等式的定义

• 概念： 用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接两个代数式，表示它们之间数量关系的式子。
• 表示： a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b, a ≠ b。

1.2 不等式的性质

• 传递性： 若 a > b, b > c，则 a > c。
• 加法性质：
  • a > b <=> a + c > b + c。
  • a > b, c > d => a + c > b + d。
• 乘法性质：
  • 当 c > 0 时，a > b <=> ac > bc。
  • 当 c < 0 时，a > b <=> ac < bc。
• 推论：
  • 若 a > b, 则 -a < -b。
  • 若 a > b > 0，则 aⁿ > bⁿ (n为正整数)。
  • 若 a > b > 0，则 √a > √b (假设√表示算术平方根)。

1.3 区间表示法

• 开区间： (a, b) = {x | a < x < b}。
• 闭区间： [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}。
• 半开区间：
  • (a, b] = {x | a < x ≤ b}。
  • [a, b) = {x | a ≤ x < b}。
• 无穷区间：
  • (a, +∞) = {x | x > a}。
  • [a, +∞) = {x | x ≥ a}。
  • (-∞, b) = {x | x < b}。
  • (-∞, b] = {x | x ≤ b}。
  • (-∞, +∞) = R。

二、一元一次不等式

2.1 定义与解法

• 定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。一般形式：ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b (a ≠ 0)。
• 解法：
  • 移项。
  • 合并同类项。
  • 系数化为1 (注意：当系数为负数时，不等号方向改变)。
• 解集表示： 用区间或不等式表示。

2.2 应用

• 实际问题： 利润问题，方案选择问题等。
• 数形结合： 在数轴上表示解集。

三、一元一次不等式组

3.1 定义与解法

• 定义： 由几个含有一个相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组。
• 解法：
  • 分别解出每个不等式的解集。
  • 在数轴上表示每个不等式的解集。
  • 取所有解集的公共部分，得到不等式组的解集。
• 口诀： 大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解。

3.2 解集的几种情况

• 有解： 解集为区间。
• 无解： 解集为空集。
• 唯一解： 解集为一个点（通常是两个不等式等号成立的交点，且这个点满足所有不等式）。

3.3 应用

• 实际问题： 范围限定问题，取值问题。
• 参数问题： 含参数的不等式组，求参数的取值范围。

四、一元二次不等式

4.1 定义与标准形式

• 定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式。一般形式：ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
• 标准形式： 化为一般形式。

4.2 解法

• 步骤：
  1. 化为标准形式。
  2. 计算判别式 Δ = b² - 4ac。
  3. 求方程 ax² + bx + c = 0 的根。
     • 当 Δ > 0 时，有两个不相等的实根 x₁, x₂ (x₁ < x₂)。
     • 当 Δ = 0 时，有两个相等的实根 x₁ = x₂ = -b/2a。
     • 当 Δ < 0 时，无实根。
  4. 根据 a 的符号和根的情况，判断不等式的解集。
     • 当 a > 0 时：
       • ax² + bx + c > 0 <=> x < x₁ 或 x > x₂ (Δ > 0)。
       • ax² + bx + c < 0 <=> x₁ < x < x₂ (Δ > 0)。
       • ax² + bx + c ≥ 0 <=> x ∈ R (Δ ≤ 0 且方程有根时)。
       • ax² + bx + c ≤ 0 <=> 无解 (Δ < 0)。
     • 当 a < 0 时，先将不等式两边同时乘以 -1，化为 a > 0 的情况求解。
• 口诀（当a>0时）： 大于取两边，小于取中间。

4.3 应用

• 函数定义域： 求函数定义域。
• 参数范围： 求参数的取值范围，使不等式恒成立。

五、绝对值不等式

5.1 绝对值的定义

• 几何意义： 数轴上表示该数的点到原点的距离。
• 代数意义：
  • |a| = a, 当 a ≥ 0 时。
  • |a| = -a, 当 a < 0 时。

5.2 绝对值不等式的性质

• |a| ≥ 0。
• |a| = |-a|。
• |a|² = a²。
• |a| + |b| ≥ |a + b|。
• |a| - |b| ≤ |a - b|。
• |a| - |b| ≤ |a + b|。

5.3 绝对值不等式的解法

• |x| < a (a > 0) <=> -a < x < a。
• |x| > a (a > 0) <=> x < -a 或 x > a。
• |ax + b| < c (c > 0) <=> -c < ax + b < c。
• |ax + b| > c (c > 0) <=> ax + b < -c 或 ax + b > c。
• 分段讨论法： 当含有多个绝对值符号时，根据绝对值符号内的式子的正负情况，将数轴分成若干段，分别在每一段上讨论求解。

5.4 应用

• 求最值： 利用绝对值不等式求函数的最值。
• 证明不等式： 利用绝对值不等式的性质证明不等式。

六、重要不等式

6.1 基本不等式

• 均值不等式： 对于正数 a, b，有 (a + b)/2 ≥ √(ab)。当且仅当 a = b 时，等号成立。
• 推广形式： 对于 n 个正数 a₁, a₂, ..., a_n，有 (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...a_n)。当且仅当 a₁ = a₂ = ... = a_n 时，等号成立。

6.2 应用

• 求最值： 在已知和（积）的情况下，求积（和）的最大值（最小值）。注意“一正二定三相等”的条件。
• 证明不等式： 利用基本不等式证明不等式。

七、总结

不等式与不等式组是高中数学的重要组成部分，掌握其基本概念、性质和解法，以及熟练运用各种解题技巧，是解决相关问题的关键。理解不等式与不等式组的几何意义和代数意义，能够更好地运用数形结合的思想解决问题。

上一个主题： 西游记思维导图 下一个主题： 七下英语第二单元思维导图