《不等式的思维导图》

一、基础概念

• 不等式的定义：
  • 用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接起来的式子。
  • 表达数量间的不等关系。
• 不等式的性质：
  • 对称性： a > b => b < a
  • 传递性： a > b, b > c => a > c
  • 加法性质： a > b => a + c > b + c
  • 乘法性质：
    • c > 0, a > b => ac > bc
    • c < 0, a > b => ac < bc
  • 倒数性质： a > b > 0 => 1/a < 1/b
  • 乘方性质： a > b > 0 => a^n > b^n (n > 0)
  • 开方性质： a > b > 0 => ⁿ√a > ⁿ√b (n > 0)
• 区间表示法：
  • 开区间：(a, b) 表示 a < x < b
  • 闭区间：[a, b] 表示 a ≤ x ≤ b
  • 半开半闭区间：(a, b] 表示 a < x ≤ b；[a, b) 表示 a ≤ x < b
  • 无穷区间：(a, +∞) 表示 x > a；(-∞, b] 表示 x ≤ b；(-∞, +∞) 表示全体实数

二、不等式的类型

• 线性不等式：
  • 形式：ax + b > 0 (或 <, ≥, ≤)
  • 解法：移项、合并同类项、系数化为1
• 一元二次不等式：
  • 形式：ax² + bx + c > 0 (或 <, ≥, ≤)
  • 解法：
    • 求根法：求方程 ax² + bx + c = 0 的根 x1, x2 (x1 < x2)
    • 判别式Δ：Δ = b² - 4ac
    • 讨论：
      • Δ > 0，不等式有两根，利用数轴标根法确定解集（注意a的正负）
      • Δ = 0，不等式有一根，解集为除该根外的全体实数（a>0）或空集（a<0)
      • Δ < 0，不等式无根，解集为全体实数（a>0）或空集（a<0)
• 分式不等式：
  • 形式：f(x)/g(x) > 0 (或 <, ≥, ≤)
  • 解法：
    • 转化为整式不等式：f(x)g(x) > 0 （或 <, ≥, ≤），注意g(x)≠0
    • 也可以转化为同解不等式组，如 f(x)/g(x) > 0 等价于 {f(x)>0, g(x)>0} 或 {f(x)<0, g(x)<0}
• 绝对值不等式：
  • |x| < a (a > 0) => -a < x < a
  • |x| > a (a > 0) => x < -a 或 x > a
  • |ax + b| < c (c > 0) => -c < ax + b < c
  • |ax + b| > c (c > 0) => ax + b < -c 或 ax + b > c
  • |x - a| + |x - b| ≥ |a - b|
  • |x - a| + |x - b| 的最小值问题，考虑分段讨论。
• 高次不等式：
  • 解法：穿根法（数轴标根法），注意奇穿偶不穿。
• 指数不等式：
  • a^x > a^y (a > 1) => x > y
  • a^x > a^y (0 < a < 1) => x < y
• 对数不等式：
  • logₐx > logₐy (a > 1) => x > y > 0
  • logₐx > logₐy (0 < a < 1) => 0 < x < y

三、不等式的解法

• 数轴标根法（穿根法）：
  • 用于解高次不等式和分式不等式。
  • 步骤：
    • 将不等式化为标准形式（f(x) > 0 或 f(x) < 0）。
    • 求出f(x) = 0 的根。
    • 将根标在数轴上，从最大根的右侧开始，自右向左依次穿过每个根（奇数重根穿过，偶数重根不穿过）。
    • 根据不等号方向确定解集。
• 图像法：
  • 将不等式转化为函数图像问题。
  • 通过观察图像的交点和相对位置确定解集。
• 代数方法：
  • 移项、合并同类项、系数化为1等。
  • 利用不等式的性质进行变形。
• 构造法：
  • 构造新的函数或不等式，简化问题。

四、基本不等式

• 基本不等式（均值不等式）：
  • 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
  • 形式：(a + b)/2 ≥ √(ab) (a, b > 0)
  • 变形：a + b ≥ 2√(ab)
  • 推广：n个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
  • 形式：(a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...aₙ) (a₁, a₂, ..., aₙ > 0)
• 柯西不等式：
  • 形式：(a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂)²
  • 推广：(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²
• 切比雪夫不等式：
  • 顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和

五、不等式的应用

• 求函数的最值：
  • 利用基本不等式求函数的最值（注意等号成立的条件）。
  • 例如：已知 x > 0, y > 0, 且 1/x + 4/y = 1，求 x + y 的最小值。
• 解决实际问题：
  • 将实际问题转化为不等式问题，利用不等式的知识求解。
  • 例如：优化问题、资源分配问题等。
• 证明不等式：
  • 利用不等式的性质和基本不等式证明其他不等式。
  • 比较法，分析法，综合法

六、注意事项

• 不等式性质的应用条件： 特别是乘法性质中，要注意系数的正负性。
• 等号成立的条件： 在利用基本不等式求最值时，一定要验证等号成立的条件是否满足。
• 分类讨论： 有时需要根据参数的取值范围进行分类讨论。
• 数形结合： 结合图像可以更直观地理解和解决不等式问题。
• 转化与化归： 将复杂的不等式问题转化为简单的不等式问题。

七、常见题型

• 解不等式（各类不等式）
• 利用基本不等式求最值
• 不等式的证明
• 不等式在实际问题中的应用
• 含参数的不等式问题
• 不等式与函数、方程的综合问题

以上是关于不等式的思维导图，涵盖了不等式的基本概念、类型、解法、基本不等式、应用以及注意事项。 通过梳理这些知识点，可以更系统地掌握不等式的内容，提高解题能力。