《一元二次函数,方程和不等式思维导图》

I. 一元二次函数

A. 定义与一般形式

1. 定义: 形如 f(x) = ax² + bx + c (a≠0) 的函数。
   2. 一般形式: y = ax² + bx + c (a≠0)
   3. 要素:
      • a (二次项系数): 决定开口方向和大小。
      • b (一次项系数): 影响对称轴位置。
      • c (常数项): 决定函数图像与y轴的交点。

B. 函数图像与性质

1. 图像: 抛物线
   2. 开口方向:
      • a > 0: 开口向上，有最小值。
      • a < 0: 开口向下，有最大值。
   3. 对称轴: x = -b / 2a
   4. 顶点坐标: (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)
   5. 最值:
      • x = -b / 2a 时取得。
      • 最大值/最小值: (4ac - b²) / 4a
   6. 单调性:
      • a > 0: 对称轴左侧递减，右侧递增。
      • a < 0: 对称轴左侧递增，右侧递减。
   7. 与x轴的交点: 通过判别式 Δ = b² - 4ac 判断。

C. 图像变换

1. 平移:
   • 左加右减: y = a(x + m)² + b (向左平移 m 个单位)。
   • 上加下减: y = ax² + b + n (向上平移 n 个单位)。
     2. 对称:
   • 关于x轴对称: y = - (ax² + bx + c)
   • 关于y轴对称: y = a(-x)² + b(-x) + c = ax² - bx + c
   • 关于原点对称: y = - (a(-x)² + b(-x) + c) = -ax² + bx - c

II. 一元二次方程

A. 定义与一般形式

1. 定义: 形如 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的方程。
   2. 一般形式: ax² + bx + c = 0 (a≠0)

B. 解法

1. 直接开方法: 适用于 (ax + b)² = c 形式。
   2. 配方法: 将方程化为 (x + m)² = n 形式。
   3. 公式法: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
   4. 因式分解法: 将方程化为 (x - x₁) (x - x₂) = 0 形式。

C. 根的判别式 Δ

1. Δ = b² - 4ac
   2. Δ > 0: 两个不相等的实数根。
   3. Δ = 0: 两个相等的实数根。
   4. Δ < 0: 无实数根 (有两个共轭复数根)。

D. 韦达定理

1. x₁ + x₂ = -b / a
   2. x₁ * x₂ = c / a

E. 根的分布

1. 两根都大于 k：
   • Δ ≥ 0
   • (x₁+x₂)/2 > k
   • f(k) > 0
     2. 两根都小于 k：
   • Δ ≥ 0
   • (x₁+x₂)/2 < k
   • f(k) > 0
     3. 两根一根大于 k，一根小于 k：
   • f(k) < 0
     4. 一根大于k, 一根小于m(k<m):
        • f(k)<0
        • f(m)<0

III. 一元二次不等式

A. 定义与一般形式

1. 定义: 形如 ax² + bx + c > 0 (或 < 0, ≥ 0, ≤ 0) (a≠0) 的不等式。
   2. 一般形式: ax² + bx + c > 0 (或 < 0, ≥ 0, ≤ 0) (a≠0)

B. 解法

1. 化为标准形式: ax² + bx + c > 0 (或 < 0) (a > 0)。 若a<0,则不等式两边同乘以-1，改变不等号方向。
   2. 求对应一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根 x₁ 和 x₂ (x₁ < x₂)。
   3. 根据不等号方向确定解集:
      • ax² + bx + c > 0 (a > 0): x < x₁ 或 x > x₂ (口诀：大于取两边)
      • ax² + bx + c < 0 (a > 0): x₁ < x < x₂ (口诀：小于取中间)
      • ax² + bx + c ≥ 0 (a > 0): x ≤ x₁ 或 x ≥ x₂
      • ax² + bx + c ≤ 0 (a > 0): x₁ ≤ x ≤ x₂
   4. 当 Δ < 0 时:
      • ax² + bx + c > 0 (a > 0): x ∈ R
      • ax² + bx + c < 0 (a > 0): x ∈ ∅ (空集)

C. 与集合的结合

1. 解不等式得到集合。
   2. 集合的交、并、补运算。

D. 恒成立问题

1. f(x) > 0 恒成立：
   • a > 0 且 Δ < 0
     2. f(x) < 0 恒成立：
   • a < 0 且 Δ < 0
     3. 区间上的恒成立: 转化为最值问题。 求出函数在指定区间的最大值或最小值。

IV. 三者联系

A. 函数图像是方程的几何表示

1. 方程 ax² + bx + c = 0 的根是函数 y = ax² + bx + c 的图像与x轴的交点的横坐标。

B. 不等式是函数值的范围表达

1. 不等式 ax² + bx + c > 0 的解集是函数 y = ax² + bx + c 的图像在x轴上方的部分的横坐标的集合。

C. 相互转化

1. 通过方程的根研究函数的性质。
   2. 通过函数图像解决不等式问题。

V. 应用

A. 实际问题

1. 利润最大化问题。
   2. 运动轨迹问题。
   3. 优化问题。

      B. 数学问题

2. 求参数范围。
   2. 证明不等式。
   3. 解决综合性问题。

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