数学不等式思维导图

# 《数学不等式思维导图》

## 一、不等式的基本概念

### 1.1 定义

*   用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的表示数量之间**不等关系**的式子。

### 1.2 分类

*   **绝对不等式（恒不等式）**: 对于变量在其允许取值范围内的所有值，不等式都成立。
*   **条件不等式**: 只有在一定条件下才成立的不等式。
*   **矛盾不等式**: 在其变量的定义域上，不等式均不成立。
*   **一元不等式**: 只含有一个未知数的不等式。
    *   一元一次不等式
    *   一元二次不等式
    *   一元高次不等式
*   **多元不等式**: 含有多个未知数的不等式。

### 1.3 不等式的性质

*   **传递性**: 若 a > b, b > c，则 a > c。
*   **加法性质**: 若 a > b，则 a + c > b + c。
    *   推论: 若 a > b, c > d，则 a + c > b + d。
*   **乘法性质**:
    *   若 a > b, c > 0，则 ac > bc。
    *   若 a > b, c < 0，则 ac < bc。
*   **倒数性质**: 若 a > b > 0，则 1/a < 1/b。
*   **乘方性质**: 若 a > b > 0, n ∈ N*，则 a^n > b^n。
*   **开方性质**: 若 a > b > 0, n ∈ N*，则 ⁿ√a > ⁿ√b。

## 二、重要不等式

### 2.1 均值不等式 (算术平均数 ≥ 几何平均数)

*   **基本形式**:  对于正数 a, b， (a+b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当 a=b 时等号成立。
*   **推广形式**:  对于n个正数 a₁, a₂, ..., aₙ，(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂…aₙ)，当且仅当 a₁=a₂=…=aₙ 时等号成立。
*   **变形应用**:
    *   a + b ≥ 2√(ab) (a, b > 0)
    *   (a + b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2/(1/a + 1/b) (a, b > 0)
    *   a² + b² ≥ 2ab

### 2.2 柯西不等式

*   **二维形式**: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²，当且仅当 a/c = b/d (或 ac = bd = 0) 时等号成立。
*   **一般形式**: (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²，当且仅当 a₁/b₁ = a₂/b₂ = ... = aₙ/bₙ (或 b₁ = b₂ = ... = bₙ = 0) 时等号成立。
*   **向量形式**: |α| |β| ≥ |α • β|，其中α, β是向量。

### 2.3排序不等式

*   **内容**:  设 a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ，b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ bₙ 为两组实数，c₁, c₂, ..., cₙ 是 b₁, b₂, ..., bₙ 的任意一个排列。
    *   则 a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ ≥ a₁c₁ + a₂c₂ + ... + aₙcₙ ≥ a₁bₙ + a₂bₙ₋₁ + ... + aₙb₁。
    *   同序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和

## 三、不等式的解法

### 3.1 一元一次不等式

*   **步骤**:
    1.  移项，合并同类项。
    2.  化系数为1。
    3.  根据系数的正负号改变不等号方向。

### 3.2 一元二次不等式

*   **步骤**:
    1.  将不等式化为 ax² + bx + c > 0 (或 < 0) 的形式。
    2.  计算判别式 Δ = b² - 4ac。
    3.  求出方程 ax² + bx + c = 0 的根 x₁，x₂ (若 Δ ≥ 0)。
    4.  根据根的情况和二次函数的图像，确定不等式的解集。
    *   Δ > 0:  ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂} (若 x₁ < x₂); ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}。
    *   Δ = 0:  ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ x₁}; ax² + bx + c < 0 的解集为空集。
    *   Δ < 0:  ax² + bx + c > 0 的解集为R; ax² + bx + c < 0 的解集为空集。

### 3.3 分式不等式

*   **转化思想**:  将分式不等式转化为整式不等式求解。
*   **基本类型**:
    *   f(x)/g(x) > 0  ⇔  f(x)g(x) > 0
    *   f(x)/g(x) < 0  ⇔  f(x)g(x) < 0
    *   f(x)/g(x) ≥ 0  ⇔  f(x)g(x) ≥ 0 且 g(x) ≠ 0
    *   f(x)/g(x) ≤ 0  ⇔  f(x)g(x) ≤ 0 且 g(x) ≠ 0

### 3.4 绝对值不等式

*   **|x| < a (a > 0) 的解集**:  {x | -a < x < a}
*   **|x| > a (a > 0) 的解集**:  {x | x < -a 或 x > a}
*   **|f(x)| < g(x) 的解集**:  -g(x) < f(x) < g(x)
*   **|f(x)| > g(x) 的解集**:  f(x) < -g(x) 或 f(x) > g(x)
*   **三角不等式**: |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

### 3.5 简单线性规划

*   **目标函数**: 关于 x, y 的线性函数，例如 z = ax + by。
*   **约束条件**: 由关于 x, y 的线性不等式组成的不等式组。
*   **可行域**: 满足约束条件的不等式组所表示的区域。
*   **最优解**: 使得目标函数取得最大值或最小值的可行解。
*   **求解步骤**:
    1.  画出可行域。
    2.  将目标函数化为直线方程的形式。
    3.  平移直线，寻找与可行域相切的位置。
    4.  求出切点坐标，即为最优解。
    5.  代入目标函数，求出最大值或最小值。

## 四、不等式的证明

### 4.1 比较法

*   **作差比较法**: 要证 a > b，只需证 a - b > 0；要证 a < b，只需证 a - b < 0。
*   **作商比较法**: 若 a, b > 0，要证 a > b，只需证 a/b > 1；要证 a < b，只需证 a/b < 1。

### 4.2 分析法

*   **思路**: 从要证的结论出发，逐步逆推，直到已知条件。
*   **格式**: 要证…, 只需证…, …，这只需证… (已知条件)。

### 4.3 综合法

*   **思路**: 从已知条件出发，逐步推导，直到所需证明的结论。
*   **格式**: 因为…, 所以…, 因为…, 所以…, 所以…。

### 4.4 反证法

*   **思路**: 假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立。
*   **步骤**:
    1.  假设结论的反面成立。
    2.  从假设出发，推出矛盾。
    3.  由矛盾判定假设不成立，从而证明结论成立。

### 4.5 放缩法

*   **思路**: 通过放大或缩小某些项，使得问题更容易解决。
*   **常用技巧**:
    *   舍去或增加某些项。
    *   利用基本不等式。
    *   利用函数的单调性。
    *   利用裂项相消。

### 4.6 数学归纳法

*   **步骤**:
    1.  证明当 n = n₀ 时，命题成立。
    2.  假设当 n = k (k ≥ n₀) 时，命题成立，证明当 n = k + 1 时，命题也成立。
*   **结论**: 根据数学归纳法，可以断定对于所有大于等于 n₀ 的正整数 n，命题都成立。

## 五、不等式的应用

### 5.1 求最值问题

*   利用均值不等式求最值。
*   利用线性规划求最值。

### 5.2 解决实际问题

*   优化问题。
*   资源分配问题。

### 5.3 函数问题

*   求函数的值域。
*   判断函数的单调性。

### 5.4 几何问题

*   求几何体的体积或面积的最值。
*   证明几何不等式。

《数学不等式思维导图》

一、不等式的基本概念

1.1 定义

用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的表示数量之间不等关系的式子。

1.2 分类

绝对不等式（恒不等式）: 对于变量在其允许取值范围内的所有值，不等式都成立。
条件不等式: 只有在一定条件下才成立的不等式。
矛盾不等式: 在其变量的定义域上，不等式均不成立。
一元不等式: 只含有一个未知数的不等式。
- 一元一次不等式
- 一元二次不等式
- 一元高次不等式
多元不等式: 含有多个未知数的不等式。

1.3 不等式的性质

传递性: 若 a > b, b > c，则 a > c。
加法性质: 若 a > b，则 a + c > b + c。
- 推论: 若 a > b, c > d，则 a + c > b + d。
乘法性质:
- 若 a > b, c > 0，则 ac > bc。
- 若 a > b, c < 0，则 ac < bc。
倒数性质: 若 a > b > 0，则 1/a < 1/b。
乘方性质: 若 a > b > 0, n ∈ N*，则 a^n > b^n。
开方性质: 若 a > b > 0, n ∈ N*，则 ⁿ√a > ⁿ√b。

二、重要不等式

2.1 均值不等式 (算术平均数 ≥ 几何平均数)

基本形式: 对于正数 a, b， (a+b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当 a=b 时等号成立。
推广形式: 对于n个正数 a₁, a₂, ..., aₙ，(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂…aₙ)，当且仅当 a₁=a₂=…=aₙ 时等号成立。
变形应用:
- a + b ≥ 2√(ab) (a, b > 0)
- (a + b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2/(1/a + 1/b) (a, b > 0)
- a² + b² ≥ 2ab

2.2 柯西不等式

二维形式: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²，当且仅当 a/c = b/d (或 ac = bd = 0) 时等号成立。
一般形式: (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)²，当且仅当 a₁/b₁ = a₂/b₂ = ... = aₙ/bₙ (或 b₁ = b₂ = ... = bₙ = 0) 时等号成立。
向量形式: |α| |β| ≥ |α • β|，其中α, β是向量。

2.3排序不等式

内容: 设 a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₙ，b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ bₙ 为两组实数，c₁, c₂, ..., cₙ 是 b₁, b₂, ..., bₙ 的任意一个排列。
- 则 a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ ≥ a₁c₁ + a₂c₂ + ... + aₙcₙ ≥ a₁bₙ + a₂bₙ₋₁ + ... + aₙb₁。
- 同序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和

三、不等式的解法

3.1 一元一次不等式

步骤:
1. 移项，合并同类项。
2. 化系数为1。
3. 根据系数的正负号改变不等号方向。

3.2 一元二次不等式

步骤:
1. 将不等式化为 ax² + bx + c > 0 (或 < 0) 的形式。
2. 计算判别式 Δ = b² - 4ac。
3. 求出方程 ax² + bx + c = 0 的根 x₁，x₂ (若 Δ ≥ 0)。
4. 根据根的情况和二次函数的图像，确定不等式的解集。
  - Δ > 0: ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x < x₁ 或 x > x₂} (若 x₁ < x₂); ax² + bx + c < 0 的解集为 {x | x₁ < x < x₂}。
  - Δ = 0: ax² + bx + c > 0 的解集为 {x | x ≠ x₁}; ax² + bx + c < 0 的解集为空集。
  - Δ < 0: ax² + bx + c > 0 的解集为R; ax² + bx + c < 0 的解集为空集。

3.3 分式不等式

转化思想: 将分式不等式转化为整式不等式求解。
基本类型:
- f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x)g(x) > 0
- f(x)/g(x) < 0 ⇔ f(x)g(x) < 0
- f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x)g(x) ≥ 0 且 g(x) ≠ 0
- f(x)/g(x) ≤ 0 ⇔ f(x)g(x) ≤ 0 且 g(x) ≠ 0

3.4 绝对值不等式

|x| < a (a > 0) 的解集: {x | -a < x < a}
|x| > a (a > 0) 的解集: {x | x < -a 或 x > a}
|f(x)| < g(x) 的解集: -g(x) < f(x) < g(x)
|f(x)| > g(x) 的解集: f(x) < -g(x) 或 f(x) > g(x)
三角不等式: |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

3.5 简单线性规划

目标函数: 关于 x, y 的线性函数，例如 z = ax + by。
约束条件: 由关于 x, y 的线性不等式组成的不等式组。
可行域: 满足约束条件的不等式组所表示的区域。
最优解: 使得目标函数取得最大值或最小值的可行解。
求解步骤:
1. 画出可行域。
2. 将目标函数化为直线方程的形式。
3. 平移直线，寻找与可行域相切的位置。
4. 求出切点坐标，即为最优解。
5. 代入目标函数，求出最大值或最小值。

四、不等式的证明

4.1 比较法

作差比较法: 要证 a > b，只需证 a - b > 0；要证 a < b，只需证 a - b < 0。
作商比较法: 若 a, b > 0，要证 a > b，只需证 a/b > 1；要证 a < b，只需证 a/b < 1。

4.2 分析法

思路: 从要证的结论出发，逐步逆推，直到已知条件。
格式: 要证…, 只需证…, …，这只需证… (已知条件)。

4.3 综合法

思路: 从已知条件出发，逐步推导，直到所需证明的结论。
格式: 因为…, 所以…, 因为…, 所以…, 所以…。

4.4 反证法

思路: 假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立。
步骤:
1. 假设结论的反面成立。
2. 从假设出发，推出矛盾。
3. 由矛盾判定假设不成立，从而证明结论成立。

4.5 放缩法

思路: 通过放大或缩小某些项，使得问题更容易解决。
常用技巧:
- 舍去或增加某些项。
- 利用基本不等式。
- 利用函数的单调性。
- 利用裂项相消。

4.6 数学归纳法

步骤:
1. 证明当 n = n₀ 时，命题成立。
2. 假设当 n = k (k ≥ n₀) 时，命题成立，证明当 n = k + 1 时，命题也成立。
结论: 根据数学归纳法，可以断定对于所有大于等于 n₀ 的正整数 n，命题都成立。

五、不等式的应用

5.1 求最值问题

利用均值不等式求最值。
利用线性规划求最值。

5.2 解决实际问题

优化问题。
资源分配问题。

5.3 函数问题

求函数的值域。
判断函数的单调性。

5.4 几何问题

求几何体的体积或面积的最值。
证明几何不等式。

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