《方程与不等式思维导图》

一、方程

1. 概念与定义

• 方程： 含有未知数的等式。
• 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程： 求方程的解的过程。

2. 一元一次方程

• 定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程。
• 一般形式： ax + b = 0 (a ≠ 0)
• 解法：
  • 移项： 将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。
  • 合并同类项： 将含有相同未知数的项合并。
  • 系数化为1： 方程两边同除以未知数的系数。
• 应用： 解决实际问题（例如：行程问题、工程问题、利润问题等）。

3. 二元一次方程组

• 定义： 含有两个未知数，且未知数的次数都是1的方程组。

• 一般形式：

  ax + by = c dx + ey = f

• 解法：

  • 代入消元法： 将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  • 加减消元法： 将两个方程的系数进行适当的运算（通常是乘以某个数），使其中一个未知数的系数相同或互为相反数，然后将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

• 应用： 解决实际问题（例如：配套问题、调配问题等）。

4. 一元二次方程

• 定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
• 一般形式： ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• 解法：
  • 直接开平方法： 适用于形如(x+m)²=n (n≥0)的方程。
  • 配方法： 将方程变形为(x+m)²=n的形式，再用直接开平方法求解。
  • 公式法： x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a （其中Δ = b² - 4ac 为判别式）
  • 因式分解法： 将方程左边分解成两个一次因式的乘积，然后分别令每个因式等于0，求出方程的解。
• 判别式： Δ = b² - 4ac
  • Δ > 0：方程有两个不相等的实数根。
  • Δ = 0：方程有两个相等的实数根。
  • Δ < 0：方程没有实数根。
• 根与系数的关系 (韦达定理): x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a
• 应用： 解决实际问题（例如：面积问题、增长率问题等）。

5. 分式方程

• 定义： 分母中含有未知数的方程。
• 解法：
  • 去分母： 方程两边同乘最简公分母。
  • 解整式方程： 将分式方程转化为整式方程进行求解。
  • 验根： 将求出的解代入最简公分母进行检验，使最简公分母不等于0的解才是原方程的解，否则是增根，需要舍去。
• 增根： 使最简公分母等于0的根。

二、不等式

1. 概念与性质

• 不等式： 用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接的式子。
• 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值。
• 解不等式： 求不等式的解集的过程。
• 不等式的性质：
  • 不等式两边加或减同一个数（或式子），不等号的方向不变。
  • 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
  • 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式

• 定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式。
• 一般形式： ax + b > 0 (a ≠ 0), ax + b < 0 (a ≠ 0), ax + b ≥ 0 (a ≠ 0), ax + b ≤ 0 (a ≠ 0)
• 解法： 类似于解一元一次方程，但要注意：当不等式两边乘或除以负数时，不等号的方向要改变。
• 解集表示：
  • 数轴表示： 用数轴上的点或线段表示解集。
  • 集合表示： 用集合的形式表示解集，例如：{x | x > a}。
  • 区间表示： 用区间的形式表示解集，例如：(a, +∞)。

3. 一元一次不等式组

• 定义： 由几个一元一次不等式组成的不等式组。
• 解法：
  • 分别解出每个不等式的解集。
  • 求出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。
• 解集表示： 类似于一元一次不等式解集的表示。

4. 一元二次不等式

• 定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式。
• 一般形式： ax² + bx + c > 0 (a ≠ 0), ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0), ax² + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0), ax² + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)
• 解法：
  • 转化为一元二次方程： 将不等式转化为对应的方程 ax² + bx + c = 0。
  • 求方程的根： 求出方程的根 x₁ 和 x₂ (x₁ < x₂)。
  • 根据图像判断：
    • 当 a > 0 时，抛物线开口向上：
      • ax² + bx + c > 0 的解集为 x < x₁ 或 x > x₂。
      • ax² + bx + c < 0 的解集为 x₁ < x < x₂。
    • 当 a < 0 时，抛物线开口向下：
      • ax² + bx + c > 0 的解集为 x₁ < x < x₂。
      • ax² + bx + c < 0 的解集为 x < x₁ 或 x > x₂。
• 应用： 解决实际问题（例如：范围问题、最值问题等）。

5. 线性规划

• 定义： 研究在一组线性约束条件下，某个线性目标函数取得最大值或最小值的问题。
• 步骤：
  • 建立数学模型： 列出约束条件和目标函数。
  • 画出可行域： 根据约束条件画出可行域（由所有满足约束条件的点组成的区域）。
  • 求最优解： 在可行域内找到使目标函数取得最大值或最小值的点（通常是可行域的顶点）。
• 应用： 解决生产计划、资源分配等实际问题。

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