《式与方程思维导图》

一、式

1. 代数式

• 定义： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。

• 分类：

  • 整式： 单项式和多项式的统称。
    • 单项式： 由数与字母的积组成的式子（单独的一个数或一个字母也是单项式）。
      • 系数： 单项式中的数字因数。
      • 次数： 单项式中所有字母的指数的和。
    • 多项式： 几个单项式的和。
      • 项： 多项式中的每一个单项式。
      • 常数项： 多项式中不含字母的项。
      • 次数： 多项式中次数最高的项的次数。
  • 分式： 形如 A/B 的式子，其中 A、B 都是整式，且 B 中含有字母。
    • 分子： 分式线上方的整式 A。
    • 分母： 分式线下方的整式 B。
    • 分式有意义的条件： 分母不等于零 (B ≠ 0)。
    • 分式的值为零的条件： 分子等于零且分母不等于零 (A = 0 且 B ≠ 0)。
  • 无理式： 含有对字母开方运算的式子。

• 代数式的值： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。

2. 运算

• 整式运算：

  • 合并同类项： 系数相加，字母和字母的指数不变。
  • 去括号与添括号：
    • 去括号：括号前是"+"号，去掉括号和"+"号，括号里的各项不变号；括号前是"-"号，去掉括号和"-"号，括号里的各项都变号。
    • 添括号：括号前是"+"号，括号里的各项不变号直接添进去；括号前是"-"号，括号里的各项都要变号后再添进去。
  • 幂的运算：
    • 同底数幂的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)
    • 幂的乘方：(a^m)^n = a^(mn)
    • 积的乘方：(ab)^n = a^n * b^n
    • 同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n) (a≠0)
    • 零指数幂：a^0 = 1 (a≠0)
    • 负整数指数幂：a^(-n) = 1/a^n (a≠0)
  • 乘法公式：
    • 平方差公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
    • 完全平方公式：(a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2
  • 多项式乘法： 运用分配律。
  • 多项式除以单项式： 运用分配律，将多项式中的每一项分别除以单项式。

• 分式运算：

  • 约分： 把分子和分母的公因式约去。
  • 通分： 把几个异分母的分式化成同分母的分式。
  • 加减： 同分母分式直接加减，异分母分式先通分再加减。
  • 乘法： 分子乘分子，分母乘分母。
  • 除法： 除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
  • 乘方： (A/B)^n = A^n / B^n

二、方程

1. 方程的概念

• 定义： 含有未知数的等式。
• 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程： 求方程的解的过程。

2. 方程的分类

• 按未知数的个数分： 一元方程、二元方程、多元方程。
• 按未知数的次数分： 一次方程、二次方程、高次方程。
• 其他分类： 整式方程、分式方程、无理方程。

3. 常见方程及其解法

• 一元一次方程：
  • 标准形式： ax + b = 0 (a≠0)
  • 解法：
    1. 去分母（若有）。
    2. 去括号（若有）。
    3. 移项：将含有未知数的项移到等式的一边，常数项移到另一边。
    4. 合并同类项。
    5. 系数化为 1。
• 二元一次方程组：
  • 标准形式：
    • a1x + b1y = c1
    • a2x + b2y = c2
  • 解法：
    • 代入消元法： 将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程，从而消去一个未知数。
    • 加减消元法： 通过将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数。
• 一元二次方程：
  • 标准形式： ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)
  • 解法：
    • 直接开平方法： 适用于形如 (x+m)^2 = n (n≥0) 的方程。
    • 配方法： 将方程配成 (x+m)^2 = n 的形式，然后用直接开平方法求解。
    • 公式法： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 其中 Δ = b^2 - 4ac 为判别式。
      • Δ > 0：方程有两个不相等的实数根。
      • Δ = 0：方程有两个相等的实数根。
      • Δ < 0：方程没有实数根。
    • 因式分解法： 将方程化为 (x+m)(x+n) = 0 的形式，然后令每个因式等于零。
  • 根与系数的关系 (韦达定理)：
    • x1 + x2 = -b/a
    • x1 * x2 = c/a
• 分式方程：
  • 解法：
    1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母。
    2. 解整式方程。
    3. 验根：将求得的根代入最简公分母，看是否等于零。如果等于零，则是增根，需要舍去。

4. 方程的应用

• 列方程解应用题：
  • 审题： 理解题意，明确已知量和未知量，理清数量关系。
  • 设未知数： 根据题意，选择合适的未知数，并用字母表示。
  • 列方程： 根据题中的等量关系，列出方程。
  • 解方程： 解出所列的方程。
  • 检验： 检验所求的解是否符合题意，并写出答案。
• 常见类型：
  • 行程问题：路程 = 速度 × 时间
  • 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
  • 利润问题：利润 = 售价 - 成本， 利润率 = 利润 / 成本
  • 储蓄问题：利息 = 本金 × 利率 × 时间
  • 数字问题：如两位数、三位数等
  • 几何问题：利用几何图形的性质和公式列方程。

5. 不等式

• 定义： 用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）连接的式子。
• 不等式的性质：
  • 不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变。
  • 不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
  • 不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
• 不等式的解集： 使不等式成立的未知数的取值范围。
• 不等式的解法： 类似于解方程，注意不等式两边乘以或除以负数时，不等号方向要改变。

6. 方程与不等式的联系

• 方程是特殊的等式，不等式是不等关系的表达。
• 解方程的思路和解不等式的思路类似，都是为了求出未知数的值或范围。
• 一些复杂的应用题可以结合方程和不等式来解决。