《高中不等式思维导图》

一、基础概念

1.1 不等式的定义

• 用不等号（<, >, ≤, ≥, ≠）连接的式子。

1.2 不等式的性质

• 对称性： a > b ⇔ b < a
  • 传递性： a > b, b > c ⇒ a > c
  • 加法性质： a > b ⇔ a + c > b + c
  • 乘法性质：
    • c > 0 时，a > b ⇔ ac > bc
    • c < 0 时，a > b ⇔ ac < bc
  • 乘方性质：
    • a > b > 0 ⇒ aⁿ > bⁿ (n ∈ N^*)
  • 开方性质：
    • a > b > 0 ⇒ ⁿ√a > ⁿ√b (n ∈ N^*)
  • 倒数性质：
    • a > b > 0 ⇒ 1/a < 1/b

1.3 区间表示

• 开区间： (a, b) = {x | a < x < b}
  • 闭区间： [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
  • 半开半闭区间： (a, b] = {x | a < x ≤ b}, [a, b) = {x | a ≤ x < b}
  • 无穷区间： (a, +∞), [a, +∞), (-∞, b), (-∞, b], (-∞, +∞)

二、不等式的解法

2.1 一元一次不等式

• 解法： 移项、合并同类项、系数化为1

2.2 一元二次不等式

• 判别式Δ： Δ = b² - 4ac
  • 步骤：
    • 化为一般形式：ax² + bx + c > 0 (或 < 0)
    • 求根：
      • Δ > 0：有两个不相等的实数根x₁, x₂ (x₁ < x₂)
      • Δ = 0：有两个相等的实数根x₁ = x₂
      • Δ < 0：无实数根
    • 画根轴：在数轴上标出根
    • 确定解集：
      • a > 0 时：
        • ax² + bx + c > 0 ⇒ x < x₁ 或 x > x₂ (Δ > 0); x ≠ x₁ (Δ = 0); R (Δ < 0)
        • ax² + bx + c < 0 ⇒ x₁ < x < x₂ (Δ > 0); ∅ (Δ = 0); ∅ (Δ < 0)
      • a < 0 时：先化为 a > 0 的情况

2.3 分式不等式

• 步骤：
  • 移项，化为 f(x)/g(x) > 0 (或 < 0) 的形式
  • 化为整式不等式：
    • f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x)g(x) > 0 且 g(x) ≠ 0
    • f(x)/g(x) < 0 ⇔ f(x)g(x) < 0 且 g(x) ≠ 0
  • 解整式不等式

2.4 绝对值不等式

• |x| < a (a > 0) 的解： -a < x < a
  • |x| > a (a > 0) 的解： x < -a 或 x > a
  • |ax + b| < c (c > 0) 的解： -c < ax + b < c
  • |ax + b| > c (c > 0) 的解： ax + b < -c 或 ax + b > c
  • |x - a| + |x - b| ≥ c 和 |x - a| + |x - b| ≤ c 解法： 零点分段法

2.5 简单的高次不等式

• 穿根法（数轴标根法）：
  • 化为标准形式：(x - x₁)^k1(x - x₂)^k2...(x - x_n)^kn > 0 (或 < 0), x₁ < x₂ < ... < x_n
  • 在数轴上标出根x₁, x₂, ..., x_n
  • 从右上方开始，依次穿过每个根。若指数k_i为奇数，则穿过；若k_i为偶数，则弹回。
  • 根据不等号方向确定解集。

三、重要不等式

3.1 均值不等式

• 基本形式： a, b ∈ R⁺ 时，(a + b)/2 ≥ √(ab) (当且仅当 a = b 时取等号)
  • 推广形式： a₁, a₂, ..., a_n ∈ R⁺ 时，(a₁ + a₂ + ... + a_n)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...a_n) (当且仅当 a₁ = a₂ = ... = a_n 时取等号)
  • 应用：
    • 求最值：和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值。
    • 注意：一正、二定、三相等

3.2 柯西不等式

• 二维形式： (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² (当且仅当 ad = bc 时取等号)
  • 向量形式： |α||β| ≥ |α·β| (当且仅当 α与β共线时取等号)

3.3 排序不等式（排序原理）

• 定义： 设有两组数a₁, a₂, ..., a_n和b₁, b₂, ..., b_n，其中a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n，b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n。
  • 结论：
    • 顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和
    • 即 a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n ≥ a₁b_i1 + a₂b_i2 + ... + a_nb_in ≥ a₁b_n + a₂b_n-1 + ... + a_nb₁ (其中 i₁, i₂, ..., i_n 是 1, 2, ..., n 的一个排列)

四、不等式的应用

4.1 求最值

• 均值不等式
  • 函数单调性
  • 导数

4.2 解应用题

• 建立不等式模型
  • 注意实际意义

4.3 证明不等式

• 比较法： 作差比较、作商比较
  • 综合法： 由已知条件出发，利用不等式性质逐步推导
  • 分析法： 从要证的不等式出发，逐步寻找成立的条件
  • 反证法： 假设结论不成立，推出矛盾
  • 放缩法： 适当放大或缩小不等式，使其更容易证明
  • 数学归纳法： 证明与自然数有关的不等式
  • 利用函数性质： 利用函数的单调性、奇偶性等性质

五、线性规划

5.1 二元一次不等式组与平面区域

• 二元一次不等式表示的平面区域： 直线 ax + by + c = 0 将平面分为两个区域，ax + by + c > 0 表示其中一个区域，ax + by + c < 0 表示另一个区域。
  • 二元一次不等式组表示的平面区域： 多个二元一次不等式表示的平面区域的交集。

5.2 线性规划问题

• 目标函数： 关于决策变量的线性函数，需要最大化或最小化。
  • 约束条件： 关于决策变量的线性不等式组，表示可行域。
  • 可行域： 满足所有约束条件的解的集合。
  • 最优解： 使目标函数取得最大值或最小值的可行解。
  • 解法：
    • 图解法：画出可行域，平移目标函数对应的直线，找到与可行域相切的位置，确定最优解。
    • 单纯形法 (大学内容)

六、常用技巧

6.1 配方法

6.2 换元法

• 三角换元
  • 代数换元

    6.3 构造法

    6.4 绝对值三角不等式：

• |a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|

此思维导图涵盖了高中不等式的主要内容，从基础概念到解题方法，再到应用和技巧，希望能帮助大家更好地理解和掌握不等式知识。