《浙教版八上数学第五章一次函数思维导图》

一、一次函数的概念与表示

• 定义： 形如 y = kx + b (k, b 是常数，且 k ≠ 0) 的函数叫做一次函数。特别地，当 b=0 时，y = kx (k ≠ 0) 称为正比例函数。
  • k 的意义： k 是比例系数，决定直线的倾斜程度和方向。
    • k > 0，直线倾斜向上，y 随 x 增大而增大（增函数）。
    • k < 0，直线倾斜向下，y 随 x 增大而减小（减函数）。
  • b 的意义： b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即直线与 y 轴的交点为 (0, b)。
• 一般形式： y = kx + b
  • 变量： x 和 y
  • 常数： k 和 b
• 正比例函数： y = kx (k ≠ 0)
  • 图像必过原点 (0, 0)。
• 函数的表示方法：
  • 解析式法： 通过函数关系式来表示，如 y = 2x + 1。
  • 图像法： 通过图像来表示函数关系。
  • 列表法： 通过表格列出一些自变量与函数值对应的数值。
• 确定一次函数解析式：
  • 已知两点坐标：使用待定系数法，设 y = kx + b，将两点坐标代入，解二元一次方程组求出 k 和 b。
  • 已知一点坐标和斜率：使用点斜式方程，y - y1 = k(x - x1)，化简为 y = kx + b 的形式。
  • 已知与y轴交点和斜率：可以直接确定b，然后利用斜率确定k。

二、一次函数的图像与性质

• 图像： 一次函数的图像是一条直线。
  • 画法： 两点确定一条直线，通常取 (0, b) 和另一点 (x, kx + b)。
  • 图像的走向：
    • k > 0 时，直线从左下到右上，y 随 x 的增大而增大。
    • k < 0 时，直线从左上到右下，y 随 x 的增大而减小。
  • 与坐标轴的交点：
    • 与 y 轴的交点为 (0, b)。
    • 与 x 轴的交点，令 y = 0，解得 x = -b/k，交点为 (-b/k, 0)。
• 性质：
  • 增减性：
    • 当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大（增函数）。
    • 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小（减函数）。
  • 位置关系：
    • k 相同，b 不同，两条直线平行。
    • k 相同，b 相同，两条直线重合。
    • k1 * k2 = -1，两条直线垂直。
• 特殊情况：
  • 当 k = 0 时，y = b，为常函数，图像为一条水平直线。
  • x = c，为一条垂直于 x 轴的直线，不是函数。

三、一次函数与方程、不等式

• 一次函数与一元一次方程：
  • 方程 kx + b = 0 的解，对应一次函数 y = kx + b 的图像与 x 轴的交点的横坐标。
  • 求解方程 kx + b = 0 相当于寻找函数 y = kx + b 的零点。
• 一次函数与一元一次不等式：
  • 不等式 kx + b > 0 的解集，对应一次函数 y = kx + b 的图像在 x 轴上方的部分对应的 x 的取值范围。
  • 不等式 kx + b < 0 的解集，对应一次函数 y = kx + b 的图像在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值范围。
  • 通过一次函数的图像可以直观地解决一元一次不等式问题。
• 一次函数与二元一次方程（组）：
  • 二元一次方程 ax + by + c = 0 可以转化为一次函数 y = -(a/b)x - (c/b) 的形式 (b ≠ 0)。
  • 二元一次方程组的解，对应两条直线（一次函数图像）的交点坐标。
  • 方程组有唯一解，对应两条直线相交。
  • 方程组无解，对应两条直线平行。
  • 方程组有无数解，对应两条直线重合。

四、一次函数的应用

• 解决实际问题：

  • 建立一次函数模型：分析实际问题中的变量关系，确定变量间的关系是否符合一次函数的形式。
  • 确定函数解析式：根据题意，利用待定系数法求出一次函数的解析式。
  • 解决问题：利用一次函数解析式进行计算、预测或决策。

• 常见的实际问题类型：

  • 行程问题：速度、时间、路程之间的关系，构建一次函数模型描述运动过程。
  • 收费问题：水费、电费、话费等，根据不同的收费标准构建分段一次函数模型。
  • 利润问题：成本、售价、利润之间的关系，构建一次函数模型分析利润变化。
  • 增长问题：增长率、基数、增长量之间的关系，构建一次函数模型预测未来发展。

• 注意：

  • 实际问题中，自变量的取值范围通常有限制，要注意结合实际情况考虑。
  • 要认真审题，理解题意，准确提取关键信息，建立正确的数学模型。

• 分段函数

  • 在不同区间内，函数解析式不同的函数。
  • 图像由几段不同的直线组成。
  • 在求解分段函数相关问题时，需要分段讨论，注意定义域的取值范围。

    五、易错点总结

• 混淆一次函数与正比例函数的概念。

• 忽略k ≠ 0 的条件，导致错误。

• 计算斜率k时，正负号出错。

• 画函数图像时，找点不准确或连线错误。

• 在解决实际问题时，不能正确建立一次函数模型，或忽略自变量的取值范围。

• 分段函数问题不会分情况讨论。

• 不理解一次函数和方程、不等式的关系。