五年级上册数学数与代数思维导图A3纸

《五年级上册数学数与代数思维导图A3纸》

中心主题：五年级上册数学数与代数

一级分支：小数乘法

• 概念：

  • 意义：整数乘法的意义的推广。
  • 本质：求几个相同加数的和的简便运算，特殊情况下可理解为求一个数的几分之几是多少。
  • 与整数乘法的联系与区别：联系在于都是求相同加数的和；区别在于小数乘法中有一个或两个乘数是小数。

• 计算：

  • 小数乘整数：按整数乘法计算，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。
  • 小数乘小数：按整数乘法计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。位数不够时，用0补足。
  • 竖式计算注意事项：末位对齐，数清小数点后的位数。
  • 估算：将小数先估成整数，再进行计算。

• 积的变化规律：

  • 一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）到原来的几倍，积也扩大（缩小）到原来的几倍。
  • 一个因数不变，另一个因数扩大10倍，积也扩大10倍，小数点向右移动一位；缩小10倍，积也缩小10倍，小数点向左移动一位。
  • 小数乘法中，如果一个因数大于1，积大于另一个因数；如果一个因数小于1，积小于另一个因数。

• 近似数：

  • 四舍五入法：根据要求保留的小数位数，看下一位数字，大于等于5舍去并向前一位进1，小于5直接舍去。
  • 取近似值解决实际问题：根据具体情境选择合适的取近似值的方法，例如：去尾法、进一法。

• 简便计算：

  • 乘法交换律：a × b = b × a
  • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c （逆用：a × c + b × c = (a + b) × c）
  • 特殊数的结合：例如：0.25 × 4 = 1， 0.125 × 8 = 1

• 应用：

  • 解决实际问题：单价×数量=总价，速度×时间=路程，工作效率×工作时间=工作总量。
  • 注意单位换算，例如：米和厘米，千克和克。

一级分支：小数除法

• 概念：

  • 意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 本质：整数除法的推广。

• 计算：

  • 除数是整数的小数除法：按照整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
  • 除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个或多个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 有限小数：小数部分的位数是有限的小数（或小数部分后面没有数字的小数）叫做有限小数。
  • 无限小数：小数部分有无数个数字的小数（小数部分后面无法写出最后一位数字）叫做无限小数。
  • 循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
  • 简便写法：循环小数的简便写法是在循环节的首位和末位数字的上面各记一个圆点。

• 商的变化规律：

  • 被除数不变，除数扩大（缩小）到原来的几倍，商就缩小（扩大）到原来的几倍。
  • 除数不变，被除数扩大（缩小）到原来的几倍，商就扩大（缩小）到原来的几倍。
  • 被除数和除数同时扩大（缩小）相同的倍数，商不变。

• 近似数：

  • 四舍五入法：根据要求保留的小数位数，看下一位数字，大于等于5舍去并向前一位进1，小于5直接舍去。
  • 取近似值解决实际问题：根据具体情境选择合适的取近似值的方法，例如：去尾法、进一法。

• 简便计算：

  • 除法的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。例如：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)

• 应用：

  • 解决实际问题：单价=总价÷数量，速度=路程÷时间，工作效率=工作总量÷工作时间。
  • 平均数问题：总数量÷总份数=平均数
  • 注意单位换算，例如：米和厘米，千克和克。

一级分支：简易方程

• 概念：

  • 方程：含有未知数的等式叫做方程。
  • 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
  • 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

• 等式的性质：

  • 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
  • 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。

• 解方程：

  • 根据等式的性质，通过移项，将未知数集中到等式的一边，已知数集中到等式的另一边，进行运算，求出未知数的值。
  • 解方程的验算：将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。

• 列方程解决实际问题：

  • 审题：理解题意，找出已知条件和所求问题。
  • 找等量关系：分析数量之间的关系，找到合适的等量关系式。
  • 设未知数：用字母表示未知数。
  • 列方程：根据等量关系式，列出方程。
  • 解方程：求出方程的解。
  • 检验：将求出的解代入原题，看是否符合题意，并写出答语。

• 应用：

  • 解决常见的数量关系问题，例如：和倍问题、差倍问题、行程问题、工程问题等。

一级分支：多边形的面积 (包含部分代数思想)

• 公式回顾：

  • 长方形面积：S = 长 × 宽
  • 正方形面积：S = 边长 × 边长
  • 平行四边形面积：S = 底 × 高
  • 三角形面积：S = (底 × 高) / 2
  • 梯形面积：S = (上底 + 下底) × 高 / 2

• 公式推导 (渗透代数思想)：

  • 平行四边形面积公式：通过割补法，将平行四边形转化为长方形，长方形的长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高。
  • 三角形面积公式：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的底相当于平行四边形的底，三角形的高相当于平行四边形的高。
  • 梯形面积公式：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上底加下底，平行四边形的高相当于梯形的高。

• 组合图形面积：

  • 分割法：将组合图形分割成若干个已学过的简单图形，分别计算面积，再相加。
  • 添补法：将组合图形添补成一个已学过的简单图形，先计算出大图形的面积，再减去添补部分的面积。

• 应用：

  • 解决实际问题，例如：计算房屋、田地、公园等的面积。
  • 注意单位换算，例如：平方米和平方厘米，公顷和平方米。

二级分支 (适用于上述各一级分支)：

• 易错点： 容易混淆概念，计算粗心，单位不统一，忘记写答语等。
• 解题技巧： 画图，列关系式，验算等。
• 重要公式： 需牢记公式并灵活运用。
• 与生活联系： 思考如何将所学知识运用到实际生活中。
• 拓展延伸： 思考更深层次的数学问题。

(注：此思维导图仅为框架，具体细节可根据实际情况进行调整和补充。)