《五年级上册数学小数乘法除法思维导图》
一、小数乘法
1. 意义
- 整数乘法的意义推广到小数:
- 一个数乘以整数,表示求几个相同加数的和的简便运算。例如:2.5 × 3 表示 2.5 + 2.5 + 2.5。
- 一个数乘以小数,表示求这个数的几分之几是多少。例如:2.5 × 0.8 表示 2.5 的十分之八是多少。
2. 法则
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计算方法:
- 先按照整数乘法的法则算出积。
- 再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。
- 如果积的小数位数不够,要在前面用0补足。
- 积的小数部分末尾有0,可以去掉。
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注意事项:
- 计算时,数位对齐是关键,尤其是小数位数多的那个因数。
- 不要忘记数清所有因数的小数位数。
- 小数点位置移动要仔细,避免出错。
3. 积与因数的关系
- 一个数(0除外)乘以大于1的数,积比原来的数大。
- 一个数(0除外)乘以小于1的数,积比原来的数小。
- 一个数(0除外)乘以等于1的数,积等于原来的数。
4. 运算定律
- 乘法交换律: a × b = b × a
- 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c (同样适用于a × (b + c) = a × b + a × c)
- 简便计算: 利用乘法运算定律,可以进行简便计算,例如:2.5 × 0.4 × 9, 可以先算 2.5 × 0.4 = 1,再算 1 × 9 = 9。
5. 解决问题
- 单价×数量=总价
- 速度×时间=路程
- 工效×时间=工作总量
- 注意单位换算: 例如:千克换算成克,米换算成厘米等。
- 实际问题: 根据实际情况进行取舍,例如:近似数问题(四舍五入、进一法、去尾法)。
二、小数除法
1. 意义
- 整数除法的意义推广到小数: 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。例如:4.5 ÷ 0.5 表示已知两个因数的积是 4.5,其中一个因数是 0.5,求另一个因数是多少。
2. 除数是整数的小数除法
- 计算方法:
- 按照整数除法的法则去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0继续除。
- 如果整数部分不够商1,要用0占位,并在商的个位上点上小数点。
3. 除数是小数的小数除法
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计算方法:
- 先移动除数的小数点,使它变成整数。
- 除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位,位数不够的,在被除数的末尾用0补足。
- 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
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关键: 保证被除数和除数同时扩大相同的倍数,商不变。
4. 商的变化规律
- 被除数不变,除数扩大,商反而缩小。
- 被除数不变,除数缩小,商反而扩大。
- 除数不变,被除数扩大,商也扩大。
- 除数不变,被除数缩小,商也缩小。
- 被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。
5. 循环小数
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定义: 一个小数,从小数部分的某一位起,一个或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
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循环节: 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,就是这个循环小数的循环节。
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简便写法: 在循环节的第一个数字和最后一个数字的上面各点一个圆点。例如:5.333… 写作 5.3̇
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有限小数: 小数部分的位数是有限的小数。
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无限小数: 小数部分的位数是无限的小数。
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关系: 循环小数是无限小数,无限小数不一定是循环小数。
6. 近似数
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用“四舍五入”法求近似数: 根据需要保留的小数位数,在要保留的位数的后面一位,用“四舍五入”的方法求近似数。
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解决问题中的近似数: 根据实际情况,有时需要用“进一法”或者“去尾法”取近似数。
- 进一法: 为了保证结果够用,即使小数点后有数字,也向前一位进1。
- 去尾法: 为了保证结果不超出限制,即使小数点后有数字,也舍去。
7. 解决问题
- 单价×数量=总价 → 总价÷单价=数量 ;总价÷数量=单价
- 总产量÷单产量=数量
- 路程÷时间=速度
- 平均数问题: 总数量÷总份数=平均数
- 注意单位换算和实际情况的取舍。
8. 混合运算
- 运算顺序: 先乘除,后加减;有括号的,先算括号里面的。
- 简便计算: 灵活运用乘法分配律等运算定律。
三、思维导图总结要点
- 清晰的结构: 从整体到部分,逐步分解知识点。
- 关键词突出: 抓住每个知识点的核心概念。
- 关联性强: 用线条或箭头连接相关知识点,体现知识的内在联系。
- 简洁明了: 避免过多的文字,用简练的语言概括要点。
- 实用性强: 方便学生复习和理解,提高学习效率。