《五年级上册第六单元多边形的面积思维导图》

中心主题：多边形的面积

一、平行四边形的面积

• 定义： 两组对边分别平行的四边形。
• 公式： 面积 = 底 × 高 (S = ah)
  • 底 (a)： 平行四边形任意一条边都可以作为底。
  • 高 (h)： 从选定的底边向对边作垂直线段，垂直线段的长度为高。
• 推导过程：
  • 转化： 通过剪切和平移，将平行四边形转化为长方形。
  • 关系： 长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。
  • 论证： 由于长方形的面积 = 长 × 宽，所以平行四边形的面积 = 底 × 高。
• 注意事项：
  • 必须找准对应底边和高，高要垂直于底边。
  • 同一个平行四边形，选择不同的底，高也不同，但面积不变。
• 变式应用：
  • 已知面积和底，求高：h = S / a
  • 已知面积和高，求底：a = S / h

二、三角形的面积

• 定义： 由三条线段围成的封闭图形。
• 公式： 面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah / 2)
  • 底 (a)： 三角形任意一条边都可以作为底。
  • 高 (h)： 从选定的底边向对角顶点作垂直线段，垂直线段的长度为高。
• 推导过程：
  • 拼组： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
  • 关系： 平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。
  • 论证： 由于平行四边形的面积 = 底 × 高，而三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2。
• 注意事项：
  • 必须找准对应底边和高，高要垂直于底边。
  • 钝角三角形的高可能在三角形的外部。
• 变式应用：
  • 已知面积和底，求高：h = 2S / a
  • 已知面积和高，求底：a = 2S / h
• 特殊三角形：
  • 直角三角形： 两条直角边可以分别作为底和高，面积 = 两直角边乘积 ÷ 2
  • 等底等高三角形： 面积相等。

三、梯形的面积

• 定义： 只有一组对边平行的四边形。
  • 上底 (a)： 较短的平行边。
  • 下底 (b)： 较长的平行边。
  • 高 (h)： 上底和下底之间的距离（垂直线段）。
• 公式： 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h / 2)
• 推导过程：
  • 拼组： 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
  • 关系： 平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，平行四边形的高等于梯形的高。
  • 论证： 由于平行四边形的面积 = 底 × 高，而梯形的面积是平行四边形面积的一半，所以梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。
• 注意事项：
  • 必须找准上底、下底和高，高要垂直于上下底。
• 变式应用：
  • 已知面积、上底和高，求下底：b = 2S / h - a
  • 已知面积、下底和高，求上底：a = 2S / h - b
• 特殊梯形：
  • 直角梯形： 有一个角是直角的梯形。
  • 等腰梯形： 两腰相等的梯形。

四、组合图形的面积

• 定义： 由几个简单的图形组合而成的图形。
• 计算方法：
  • 分割法： 将组合图形分割成几个简单的图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）。分别计算出这些简单图形的面积，然后加起来。
  • 添补法： 将组合图形添补成一个或几个简单的图形。计算出添补后的图形面积，再减去添补部分的面积。
• 关键：
  • 明确组合图形是由哪些简单图形组成的。
  • 找到合适的分割或添补方法。
  • 准确测量或计算出各简单图形的底、高、边长等数据。
• 注意事项：
  • 尽量选择分割或添补后计算较为简单的方案。
  • 要注意组合图形中隐含的条件（如等边、平行等）。

五、不规则图形的面积估算

• 方法：
  • 数方格法： 将不规则图形放在方格纸上，数出图形所占的完整方格数和不完整方格数。
    • 完整方格：每个方格按 1 个面积单位计算。
    • 不完整方格：可以估算，通常大于等于半格的按 1 个面积单位计算，小于半格的舍去。也可以将所有不满一格的方格数相加后除以2。
  • 近似图形法： 将不规则图形近似看作某个规则图形（如圆形、三角形等）。然后计算该规则图形的面积，作为不规则图形面积的近似值。
• 注意事项：
  • 方格越小，估算结果越精确。
  • 选择的近似图形应与不规则图形的形状尽可能接近。

六、单位换算 (面积)

• 常用单位：
  • 平方米 (m²)
  • 平方分米 (dm²)
  • 平方厘米 (cm²)
• 换算关系：
  • 1 m² = 100 dm²
  • 1 dm² = 100 cm²
  • 1 m² = 10000 cm²
• 高级单位转低级单位： 乘以进率
• 低级单位转高级单位： 除以进率

七、解决问题

• 步骤：
  1. 审题： 理解题意，明确已知条件和所求问题。
  2. 分析： 分析图形的构成，选择合适的公式或方法。
  3. 计算： 准确计算出相关数值。
  4. 检验： 检查计算结果是否合理，单位是否正确。
  5. 作答： 写出完整的答案。
• 技巧：
  • 画图：将抽象的文字转化为直观的图形，有助于理解题意。
  • 转化：将复杂的问题转化为简单的问题。
  • 方程：利用方程解决复杂的面积计算问题。

八、易错点

• 混淆底和高： 误将不垂直于底的边作为高。
• 忘记除以2： 计算三角形或梯形面积时忘记除以2。
• 单位不统一： 计算前未将所有数值统一单位。
• 计算错误： 计算过程中出现计算错误。
• 组合图形分割/添补不当： 分割或添补后的图形不易计算面积。
• 不规则图形估算误差大： 方格选取过大，或近似图形选择不当。