《高中数学知识点思维导图》

I. 集合与常用逻辑用语

1. 集合

1.1. 集合的概念与运算

• 1.1.1. 集合的概念:
  • 定义: 具有某种特定性质的对象的全体。
  • 元素的性质: 确定性，互异性，无序性。
  • 集合的表示方法: 列举法，描述法， Venn 图法。
• 1.1.2. 集合间的关系:
  • 子集 (⊆)：A中所有元素都在B中.
  • 真子集 (⊂)：A是B的子集，且A≠B.
  • 空集 (∅)：不含任何元素的集合. ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
  • 集合相等 (=)：A⊆B且B⊆A.
• 1.1.3. 集合的运算:
  • 并集 (A∪B)：{x | x ∈ A 或 x ∈ B}.
  • 交集 (A∩B)：{x | x ∈ A 且 x ∈ B}.
  • 补集 (∁UA)：{x | x ∈ U 且 x ∉ A}，其中U是全集.

1.2. 集合的应用

• 1.2.1. Venn 图的应用: 直观表示集合关系，解决集合运算问题.
• 1.2.2. 集合与函数: 函数的定义域、值域可用集合表示.
• 1.2.3. 集合与不等式: 解不等式后，解集可用集合表示.

2. 常用逻辑用语

2.1. 命题及其关系

• 2.1.1. 命题: 可以判断真假的语句.
  • 原命题：若p则q.
  • 逆命题：若q则p.
  • 否命题：若¬p则¬q.
  • 逆否命题：若¬q则¬p.
• 2.1.2. 四种命题的关系:
  • 原命题与逆否命题等价.
  • 逆命题与否命题等价.

2.2. 充分条件与必要条件

• 2.2.1. 充分条件: 若p则q，p是q的充分条件.
• 2.2.2. 必要条件: 若p则q，q是p的必要条件.
• 2.2.3. 充要条件: p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作p⇔q.

2.3. 全称量词与存在量词

• 2.3.1. 全称量词 (∀): "所有"，"任意"，"每一个"等. 全称命题：∀x∈A, p(x).
• 2.3.2. 存在量词 (∃): "存在"，"至少有一个"等. 特称命题：∃x∈A, p(x).
• 2.3.3. 全称命题和特称命题的否定:
  • ∀x∈A, p(x) 的否定是 ∃x∈A, ¬p(x).
  • ∃x∈A, p(x) 的否定是 ∀x∈A, ¬p(x).

II. 函数

1. 函数的概念与性质

1.1. 函数的概念

• 1.1.1. 函数的定义: 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。
• 1.1.2. 函数的三要素: 定义域、值域、对应法则.
• 1.1.3. 函数的表示法: 解析法、图像法、列表法.

1.2. 函数的性质

• 1.2.1. 单调性:
  • 单调递增: 若x1 < x2，则 f(x1) < f(x2).
  • 单调递减: 若x1 < x2，则 f(x1) > f(x2).
• 1.2.2. 奇偶性:
  • 奇函数: f(-x) = -f(x). 图像关于原点对称.
  • 偶函数: f(-x) = f(x). 图像关于y轴对称.
• 1.2.3. 周期性: 存在常数T，使得f(x+T) = f(x).

2. 基本初等函数

2.1. 指数函数

• 2.1.1. 定义: y = ax (a > 0, a ≠ 1).
• 2.1.2. 图像与性质:
  • 定义域：R
  • 值域：(0, +∞)
  • 过定点 (0, 1)
  • a > 1 时，单调递增.
  • 0 < a < 1 时，单调递减.

2.2. 对数函数

• 2.2.1. 定义: y = logax (a > 0, a ≠ 1).
• 2.2.2. 图像与性质:
  • 定义域：(0, +∞)
  • 值域：R
  • 过定点 (1, 0)
  • a > 1 时，单调递增.
  • 0 < a < 1 时，单调递减.
• 2.2.3. 常用对数公式: loga(MN) = logaM + logaN, loga(M/N) = logaM - logaN, logaMn = nlogaM, 换底公式.

2.3. 幂函数

• 2.3.1. 定义: y = xα (α ∈ R).
• 2.3.2. 图像与性质: 根据 α 的不同取值，图像和性质不同.

3. 函数的应用

3.1. 函数与方程

• 3.1.1. 函数的零点: 使 f(x) = 0 的 x 值.
• 3.1.2. 二分法求方程的近似解.
• 3.1.3. 函数模型的应用: 建立函数模型解决实际问题.

3.2. 函数与不等式

• 3.2.1. 利用函数单调性解不等式.
• 3.2.2. 函数的图像与不等式的关系.

III. 三角函数

1. 三角函数的概念

1.1. 角的概念的推广

• 1.1.1. 正角，负角，零角.
• 1.1.2. 弧度制: 1弧度的角 = 弧长等于半径的圆心角。 弧长公式 l = |α|r.
• 1.1.3. 弧度与角度的互化: π rad = 180°.

1.2. 三角函数的定义

• 1.2.1. 任意角的三角函数: 设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)，那么 sina = y, cosa = x, tana = y/x.
• 1.2.2. 三角函数在各象限的符号.

2. 三角函数的图像与性质

2.1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

• 2.1.1. 图像的绘制: 五点法.
• 2.1.2. 图像的变换: 平移变换、伸缩变换. y = Asin(ωx + φ).

2.2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质

• 2.2.1. 定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性.

3. 三角恒等变换

3.1. 同角三角函数的基本关系

• 3.1.1. sin2α + cos2α = 1.
• 3.1.2. tanα = sinα / cosα.

3.2. 诱导公式

• 3.2.1. “奇变偶不变，符号看象限”.

3.3. 和角公式、差角公式

• 3.3.1. sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ.
• 3.3.2. cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ.
• 3.3.3. tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ).

3.4. 倍角公式

• 3.4.1. sin2α = 2sinαcosα.
• 3.4.2. cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α.
• 3.4.3. tan2α = 2tanα / (1 - tan2α).

4. 三角函数的应用

4.1. 解三角形

• 4.1.1. 正弦定理: a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R.
• 4.1.2. 余弦定理: a2 = b2 + c2 - 2bccosA.
• 4.1.3. 三角形面积公式: S = (1/2)bcsinA.

4.2. 三角函数模型的简单应用

• 4.2.1. 建立三角函数模型解决实际问题.

IV. 数列

1. 数列的概念

1.1. 数列的定义

• 1.1.1. 按一定次序排列的一列数.
• 1.1.2. 数列的表示方法: 通项公式，递推公式，图像法.

2. 等差数列

2.1. 等差数列的定义

• 2.1.1. an+1 - an = d (d为常数).

2.2. 等差数列的通项公式

• 2.2.1. an = a1 + (n-1)d.

2.3. 等差数列的前n项和公式

• 2.3.1. Sn = n(a1 + an) / 2 = na1 + n(n-1)d / 2.

3. 等比数列

3.1. 等比数列的定义

• 3.1.1. an+1 / an = q (q为常数，q≠0).

3.2. 等比数列的通项公式

• 3.2.1. an = a1qn-1.

3.3. 等比数列的前n项和公式

• 3.3.1. 当q = 1时，Sn = na1.
• 3.3.2. 当q ≠ 1时，Sn = a1(1 - qn) / (1 - q) = (a1 - anq) / (1 - q).

4. 数列的应用

4.1. 数列的实际应用

• 4.1.1. 解决增长率问题，分期付款问题等.
• 4.1.2. 数列与函数、方程、不等式的综合应用.

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