《六年级数学第二单元思维导图》

一、 分数乘法

1. 分数乘法的意义

• 1.1 整数乘分数的意义: 求几个相同分数的和的简便运算。
  • 1.1.1 例: 3 × 1/4 表示求3个1/4的和是多少。
• 1.2 分数乘分数的意义: 求一个数的几分之几是多少。
  • 1.2.1 例: 1/2 × 1/3 表示求1/2的1/3是多少。

2. 分数乘法的计算法则

• 2.1 分数乘整数: 分母不变，分子和整数相乘的积作分子，能约分的要先约分，再计算。
  • 2.1.1 计算方法: (分子 × 整数) / 分母
  • 2.1.2 约分: 为了计算简便，通常先约分，再计算。
• 2.2 分数乘分数: 分子乘分子，分母乘分母，能约分的要先约分，再计算。
  • 2.2.1 计算方法: (分子1 × 分子2) / (分母1 × 分母2)
  • 2.2.2 注意事项: 结果必须是最简分数。
• 2.3 带分数乘法: 将带分数化为假分数，再进行计算。

3. 积与因数的关系

• 3.1 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
  • 3.1.1 例: 5 × 3/2 > 5
• 3.2 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。
  • 3.2.1 例: 5 × 1/2 < 5
• 3.3 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。
  • 3.3.1 例: 5 × 1 = 5

4. 简便运算

• 4.1 乘法交换律: a × b = b × a
• 4.2 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
• 4.3 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c 或 (a - b) × c = a × c - b × c

5. 倒数的认识

• 5.1 倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数。
  • 5.1.1 注意点: 倒数是指两个数之间的关系，它们互相依存，不能单独存在。
• 5.2 倒数的求法
  • 5.2.1 求一个分数的倒数: 交换分子和分母的位置。
    • 5.2.1.1 例: 3/5的倒数是5/3
  • 5.2.2 求一个整数的倒数: 将整数看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置。
    • 5.2.2.1 例: 7的倒数是1/7
  • 5.2.3 求一个小数的倒数: 先将小数化为分数，再求倒数。
    • 5.2.3.1 例: 0.25 = 1/4, 1/4的倒数是4
  • 5.2.4 求一个带分数的倒数: 先将带分数化为假分数，再求倒数。
    • 5.2.4.1 例: 1 1/2 = 3/2, 3/2的倒数是2/3
• 5.3 特殊数的倒数
  • 5.3.1 1的倒数是1。
  • 5.3.2 0没有倒数。

二、 分数除法

1. 分数除法的意义

• 1.1 分数除法的意义与整数除法的意义相同: 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
  • 1.1.1 例: (1/2) ÷ (1/4) 表示已知两个数的积是1/2，其中一个因数是1/4，求另一个因数是多少。

2. 分数除法的计算法则

• 2.1 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
  • 2.1.1 计算方法: a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)
  • 2.1.2 特别注意: 被除数不变，除号变乘号，除数变成它的倒数。
• 2.2 整数除以分数: 整数乘以分数的倒数。
• 2.3 分数除以整数: 分数乘以整数的倒数。
• 2.4 分数除以分数: 分数乘以分数的倒数。
• 2.5 带分数除法: 将带分数化为假分数，再进行计算。

3. 除法中积与被除数的关系

• 3.1 当除数大于1时，商小于被除数。
• 3.2 当除数小于1时，商大于被除数。
• 3.3 当除数等于1时，商等于被除数。

4. 比的意义

• 4.1 比的定义: 两个数相除又叫做两个数的比。
• 4.2 比的各部分名称:
  • 4.2.1 前项： 比号前面的数。
  • 4.2.2 后项： 比号后面的数。
  • 4.2.3 比值： 前项除以后项所得的商。
  • 4.2.4 比号： 冒号 (:)
• 4.3 比的表示方法:
  • 4.3.1 a:b (读作a比b)
  • 4.3.2 比值 = a ÷ b = a/b

5. 比与除法、分数的关系

项目	比	除法	分数
关系	一种关系	一种运算	一种数
前项	被除数	分子
后项	除数	分母
比值	商	分数值

6. 比的基本性质

• 6.1 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
  • 6.1.1 a:b = (a×c):(b×c) (c≠0)
  • 6.1.2 a:b = (a÷c):(b÷c) (c≠0)

7. 化简比

• 7.1 整数比的化简: 前后项同时除以它们的最大公因数。
• 7.2 分数比的化简: 先把比的前后项都乘以它们分母的最小公倍数，化成整数比，再化简。
• 7.3 小数比的化简: 先把比的前后项都乘以10、100、1000……，化成整数比，再化简。

8. 按比例分配

• 8.1 定义: 把一个数量按照一定的比进行分配的方法叫做按比例分配。
• 8.2 解题步骤:
  • 8.2.1 求出总份数。
  • 8.2.2 求出各部分占总数的几分之几。
  • 8.2.3 求出各部分具体是多少。
• 8.3 公式: 每一部分 = 总数量 × (该部分所占的份数 / 总份数)

三、 解决问题

• 1.1 用方程解决分数乘除法问题
  • 1.1.1 找准单位“1”
  • 1.1.2 列出等量关系式
  • 1.1.3 根据等量关系式设未知数，列方程
  • 1.1.4 解方程
  • 1.1.5 检验并写答
• 1.2 稍复杂的分数乘除法问题
  • 1.2.1 认真分析题意，找出数量关系
  • 1.2.2 可以用线段图帮助理解
  • 1.2.3 灵活运用分数乘除法的意义进行解答
• 1.3 综合运用所学知识解决实际问题

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