数学必修四思维导图
《数学必修四思维导图》
一、三角函数
1.1 角的概念的推广
- 1.1.1 任意角:
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角
- 负角：按顺时针方向旋转形成的角
- 零角：没有做任何旋转的角
- 1.1.2 象限角:
- 角的终边所在的象限决定了角所属的象限
- 特殊情况：终边在坐标轴上的角不属于任何象限
- 1.1.3 终边相同的角:
- 与角α终边相同的角可表示为: α + 2kπ, k∈Z (或α + 360°k, k∈Z)
1.2 弧度制
- 1.2.1 定义:
- 1.2.2 弧度与角度的换算:
- 180° = π 弧度
- 1° = π/180 弧度
- 1 弧度 = (180/π)°
- 1.2.3 弧长公式:
- 1.2.4 扇形面积公式:
1.3 三角函数的定义
- 1.3.1 单位圆定义:
- 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)，那么：
- 正弦：sin α = y
- 余弦：cos α = x
- 正切：tan α = y/x (x ≠ 0)
- 1.3.2 几何意义:
- 正弦：单位圆上点 P 的纵坐标
- 余弦：单位圆上点 P 的横坐标
- 正切：过点(1,0)的切线与角α终边的交点的纵坐标
- 1.3.3 三角函数值的符号:
- 第一象限：全正
- 第二象限：正弦正
- 第三象限：正切正
- 第四象限：余弦正
1.4 三角函数的诱导公式
- 1.4.1 公式一：
- sin(α + 2kπ) = sin α
- cos(α + 2kπ) = cos α
- tan(α + 2kπ) = tan α
- 1.4.2 公式二：
- sin(π + α) = -sin α
- cos(π + α) = -cos α
- tan(π + α) = tan α
- 1.4.3 公式三：
- sin(-α) = -sin α
- cos(-α) = cos α
- tan(-α) = -tan α
- 1.4.4 公式四：
- sin(π - α) = sin α
- cos(π - α) = -cos α
- tan(π - α) = -tan α
- 1.4.5 公式五：
- sin(π/2 - α) = cos α
- cos(π/2 - α) = sin α
- 1.4.6 公式六：
- sin(π/2 + α) = cos α
- cos(π/2 + α) = -sin α
- 1.4.7 口诀：奇变偶不变，符号看象限
1.5 三角函数的图像与性质
- 1.5.1 正弦函数 y = sin x:
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在[−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]上递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]上递减 (k∈Z)
- 对称性：关于点(kπ, 0)对称，关于直线x = π/2 + kπ对称 (k∈Z)
- 1.5.2 余弦函数 y = cos x:
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期性：T = 2π
- 奇偶性：偶函数
- 单调性：在[2kπ, π + 2kπ]上递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ]上递增 (k∈Z)
- 对称性：关于点(π/2 + kπ, 0)对称，关于直线x = kπ对称 (k∈Z)
- 1.5.3 正切函数 y = tan x:
- 定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ, k∈Z}
- 值域：R
- 周期性：T = π
- 奇偶性：奇函数
- 单调性：在(π/2 + kπ, π/2 + (k+1)π)上递增 (k∈Z)
- 对称性：关于点(π/2 + kπ, 0)对称
- 1.5.4 函数 y = Asin(ωx + φ):
- A：振幅
- ω：影响周期，T = 2π/|ω|
- φ：影响图像左右平移 (左加右减)
- 初相：ωx + φ
1.6 三角恒等变换
- 1.6.1 和角公式：
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)
- 1.6.2 差角公式：
- sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
- cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
- 1.6.3 倍角公式：
- sin 2α = 2sin α cos α
- cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan 2α = (2tan α) / (1 - tan²α)
- 1.6.4 半角公式： (较少使用，一般用降幂公式推导)
- 1.6.5 辅助角公式：
- asin x + bcos x = √(a² + b²) sin(x + φ) (其中 tan φ = b/a)
- 1.6.6 积化和差、和差化积： (了解即可，不作重点要求)
二、平面向量
2.1 平面向量的概念及线性运算
- 2.1.1 向量的概念：
- 既有大小又有方向的量
- 零向量：模为零的向量，方向任意
- 单位向量：模为 1 的向量
- 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
- 相等向量：模相等且方向相同的向量
- 2.1.2 向量的线性运算：
- 加法：三角形法则、平行四边形法则
- 减法：三角形法则 (指向被减向量)
- 数乘：λa，λ>0，方向与a相同；λ<0，方向与a相反；λ=0，结果为零向量
- 2.1.3 向量共线定理：
- 向量 a 与 b 共线 <=> 存在唯一实数 λ，使得 a = λb (b ≠ 0)
2.2 平面向量基本定理及坐标表示
- 2.2.1 平面向量基本定理：
- 如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1, λ2，使得 a = λ1e1 + λ2e2。 e1, e2 称为一组基底
- 2.2.2 平面向量的坐标表示：
- 在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，则任一向量 a = xi + yj 可表示为 a = (x, y)
- (x, y) 称为向量 a 的坐标
- 2.2.3 向量的坐标运算：
- a = (x1, y1)，b = (x2, y2)
- a + b = (x1 + x2, y1 + y2)
- a - b = (x1 - x2, y1 - y2)
- λa = (λx1, λy1)
- 若 A(x1, y1), B(x2, y2)，则 AB = (x2 - x1, y2 - y1)
- 2.2.4 向量共线的坐标表示：
- a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，a∥b <=> x1y2 - x2y1 = 0
2.3 平面向量的数量积
- 2.3.1 定义：
- a · b = |a||b|cos θ (θ 是 a 与 b 的夹角)
- 2.3.2 几何意义：
- 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积
- 2.3.3 运算性质：
- a · b = b · a
- λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb)
- a · (b + c) = a · b + a · c
- 2.3.4 坐标表示：
- a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，a · b = x1x2 + y1y2
- 2.3.5 模的计算：
- |a| = √(a · a) = √(x² + y²)
- 2.3.6 夹角公式：
- cos θ = (a · b) / (|a||b|) = (x1x2 + y1y2) / (√(x1² + y1²)√(x2² + y2²))
- 2.3.7 向量垂直的坐标表示：
- a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，a ⊥ b <=> a · b = 0 <=> x1x2 + y1y2 = 0
三、三角函数、平面向量的应用
3.1 用向量方法解决几何问题
- 3.1.1 平行与垂直的判定: 利用向量共线和垂直的坐标表示
- 3.1.2 长度和角度的计算: 利用向量的模和夹角公式
- 3.1.3 证明几何问题: 通过向量运算将几何关系转化为代数关系，进行证明
3.2 简单的三角函数模型的应用
- 3.2.1 根据实际问题建立三角函数模型: 分析实际问题中的周期性变化规律，选择合适的三角函数模型
- 3.2.2 解三角函数模型: 利用三角函数的图像和性质解决实际问题
- 3.2.3 注意实际问题的限制条件: 如变量的取值范围等
