《数学必修五思维导图》

一、 解三角形

1.1 正弦定理

1.1.1 定理内容

• $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (其中R为三角形外接圆半径)

1.1.2 定理应用

• 已知两角和任一边，求其他边和角
• 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 (需注意解的个数判定，例如 a < bsinA, a = bsinA, bsinA < a < b, a >= b 的讨论)

1.1.3 变形式

• $a = 2R\sin A, b = 2R\sin B, c = 2R\sin C$
• $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$
• $a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$
• $\frac{a+b+c}{\sin A + \sin B + \sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

1.2 余弦定理

1.2.1 定理内容

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

1.2.2 定理应用

• 已知三边，求三角
• 已知两边和它们的夹角，求第三边和另外两个角

1.2.3 变形式

• $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
• $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
• $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

1.3 三角形面积公式

1.3.1 常见公式

• $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A$
• $S = \frac{abc}{4R}$ (R为外接圆半径)
• $S = pr$ (p为半周长，r为内切圆半径)

1.3.2 海伦公式

• $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ 其中 $p = \frac{a+b+c}{2}$

1.4 其他结论

• 中线定理：$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ (AD为BC边上的中线)
• 角平分线定理：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$ (AD为∠BAC的角平分线)
• 三角形内角和定理： $A + B + C = \pi$ (或者180°)
• 正切定理: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan{\frac{A-B}{2}}}{\tan{\frac{A+B}{2}}}$

二、 数列

2.1 数列的基本概念

2.1.1 定义

• 按一定顺序排列的一列数称为数列。

2.1.2 分类

• 按项数分：有穷数列，无穷数列
• 按增减性分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列

2.1.3 通项公式

• $a_n = f(n)$ 表示数列的第n项与项数n之间的函数关系。

2.1.4 递推公式

• 给出$a1$ 和 $a{n+1} = f(a_n)$ 表示数列相邻两项之间的关系。

2.2 等差数列

2.2.1 定义

• $a_{n+1} - a_n = d$ (d为常数)， 即后一项与前一项的差为常数的数列。

2.2.2 通项公式

• $a_n = a_1 + (n-1)d$
• $a_n = a_m + (n-m)d$

2.2.3 前n项和公式

• $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
• $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

2.2.4 重要性质

• 若 m + n = p + q，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$
• 若数列{an}是等差数列，则 {a(n)}, {a(n+k)}, {ka(n)}仍是等差数列。
• 等差中项: 若 a, A, b 成等差数列，则 $A = \frac{a+b}{2}$

2.3 等比数列

2.3.1 定义

• $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ (q为常数且q≠0)， 即后一项与前一项的比为常数的数列。

2.3.2 通项公式

• $a_n = a_1q^{n-1}$
• $a_n = a_mq^{n-m}$

2.3.3 前n项和公式

• 当 q = 1 时，$S_n = na_1$
• 当 q ≠ 1 时，$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 - a_nq}{1-q}$

2.3.4 重要性质

• 若 m + n = p + q，则 $a_ma_n = a_pa_q$
• 若数列{an}是等比数列，则 {a(n)}, {a(n+k)}, {ka(n)}仍是等比数列。
• 等比中项: 若 a, G, b 成等比数列，则 $G^2 = ab$

2.4 数列求和

2.4.1 公式法

• 直接利用等差数列、等比数列的求和公式。

2.4.2 错位相减法

• 适用于数列 ${a_n \cdot b_n}$ 求和，其中${a_n}$为等差数列，${b_n}$为等比数列。

2.4.3 裂项相消法

• 适用于可以将数列的每一项拆成两项之差的情况，例如 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

2.4.4 分组求和法

• 将数列分解成几个等差数列或等比数列，分别求和后再合并。

2.4.5 倒序相加法

• 适用于数列的项具有某种对称性的情况，例如等差数列的前n项和公式推导。

三、 不等式

3.1 不等式的性质

3.1.1 基本性质

• 对称性：a > b <=> b < a
• 传递性：a > b, b > c => a > c
• 加法性质：a > b => a + c > b + c
• 乘法性质：
  • c > 0, a > b => ac > bc
  • c < 0, a > b => ac < bc

3.1.2 推论

• a > b, c > d => a + c > b + d (同向不等式可加)
• a > b > 0, c > d > 0 => ac > bd (同向同正不等式可乘)
• a > b > 0 => $a^n > b^n$ (n > 1)
• a > b > 0 => $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$ (n > 1)
• a > b => -a < -b

3.2 一元二次不等式

3.2.1 一般形式

• $ax^2 + bx + c > 0$ (a ≠ 0)
• $ax^2 + bx + c < 0$ (a ≠ 0)

3.2.2 解法

• 转化为 $ax^2 + bx + c = 0$ 求解根 x1 和 x2 (假设 x1 < x2)
• 当 a > 0 时:
  • $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$
  • $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $(x_1, x_2)$
• 当 a < 0 时，先将不等式两边同乘 -1, 使二次项系数变为正，再按上述方法求解。

3.3 基本不等式

3.3.1 重要不等式

• $a^2 + b^2 \ge 2ab$ (当且仅当 a = b 时取等号)

3.3.2 基本不等式

• $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (a > 0, b > 0， 当且仅当 a = b 时取等号)

3.3.3 应用

• 求最值：
  • 如果 x + y = S (定值)，那么当 x = y 时，xy 有最大值 $\frac{S^2}{4}$
  • 如果 xy = P (定值)，那么当 x = y 时，x + y 有最小值 $2\sqrt{P}$
• 注意“一正，二定，三相等”的使用条件。

3.4 线性规划

3.4.1 基本概念

• 线性约束条件：由线性不等式或线性方程组成的不等式组。
• 目标函数：关于变量 x, y 的线性函数，通常表示为 z = ax + by。
• 可行域：满足线性约束条件的所有点 (x, y) 的集合。
• 可行解：可行域内的点。
• 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

3.4.2 解题步骤

• 画出可行域
• 将目标函数变形为直线方程
• 平移直线，寻找与可行域相交，且使目标函数取得最值的点。
• 解出该点坐标，代入目标函数，求出最值。

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