五年级下册数学思维导图

一、数与代数

1. 分数

1.1 分数的意义和性质

1.1.1 分数的意义

• 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
• 分母：表示把单位“1”平均分成的份数。
• 分子：表示取了多少份。
• 分数单位：表示把单位“1”平均分成若干份，取其中一份的数。

1.1.2 分数的性质

• 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
• 约分：把一个分数化成与它相等，但分子和分母都比较小的分数。
• 最简分数：分子和分母是互质数的分数。
• 通分：把几个分母不同的分数，分别化成和原来分数相等且分母相同的分数。

1.2 分数的运算

1.2.1 分数加减法

• 同分母分数加减法：分母不变，分子相加减。
• 异分母分数加减法：先通分，化成同分母分数，再计算。
• 结果要化成最简分数。

1.2.2 分数乘法

• 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变。
• 分数乘分数：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母。
• 结果要化成最简分数。

1.2.3 分数除法

• 倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
• 分数除以整数：等于分数乘这个整数的倒数。
• 分数除以分数：等于分数乘除数的倒数。
• 结果要化成最简分数。

1.2.4 分数混合运算

• 运算顺序与整数混合运算相同：先乘除，后加减；有括号的先算括号里面的。
• 灵活运用运算定律进行简便计算。

1.3 分数应用题

1.3.1 求一个数是另一个数的几分之几

• 用除法计算。

1.3.2 求一个数的几分之几是多少

• 用乘法计算。

1.3.3 已知一个数的几分之几是多少，求这个数

• 用除法计算，或用方程解。

2. 因数与倍数

2.1 因数和倍数的意义

• 如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
• 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
• 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

2.2 2、3、5的倍数的特征

• 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
• 5的倍数的特征：个位上是0或5的数。
• 3的倍数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。

2.3 质数和合数

• 质数：只有1和它本身两个因数的数。
• 合数：除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
• 1既不是质数也不是合数。
• 最小的质数是2，最小的合数是4。

2.4 分解质因数

• 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。

2.5 最大公因数和最小公倍数

• 公因数：几个数公有的因数。
• 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个。
• 公倍数：几个数公有的倍数。
• 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个。
• 互质数：公因数只有1的两个数。
• 求最大公因数的方法：短除法，列举法。
• 求最小公倍数的方法：短除法，列举法。
• 两个互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

二、空间与图形

1. 正方体和长方体

1.1 认识长方体和正方体

• 长方体：有6个面，每个面都是长方形（可能有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同，有12条棱，相对的棱长度相等，有8个顶点。
• 正方体：有6个完全相同的正方形面，有12条长度相等的棱，有8个顶点。
• 正方体是特殊的长方体。

1.2 长方体和正方体的表面积

• 表面积：长方体或正方体六个面的面积之和。
• 长方体的表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2
• 正方体的表面积 = 棱长×棱长×6

1.3 长方体和正方体的体积

• 体积：物体所占空间的大小。
• 体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）
• 1立方米 = 1000立方分米
• 1立方分米 = 1000立方厘米
• 长方体的体积 = 长×宽×高
• 正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长

1.4 容积和容积单位

• 容积：容器所能容纳物体的体积。
• 容积单位：升（L）、毫升（mL）
• 1升 = 1000毫升
• 1升 = 1立方分米
• 1毫升 = 1立方厘米

2. 图形的变换

2.1 轴对称图形

• 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.2 旋转

• 旋转：物体绕着一个点或一个轴做圆周运动。
• 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。

三、统计与概率

1. 复式折线统计图

1.1 认识复式折线统计图

• 用两条或两条以上的折线，表示两种或两种以上事物的发展变化情况。

1.2 复式折线统计图的特点

• 便于比较两种或两种以上事物的发展变化趋势。

1.3 根据复式折线统计图分析数据

• 能够清晰地看出数据的变化趋势。

四、数学广角

1. 找次品

1.1 利用天平找次品

• 将待测物品尽量平均分成3份。
• 如果能够平均分，就先将其中两份放在天平的两端。
• 如果不能平均分，也要尽量使两端数量相等。
• 每次称量后，确定次品所在的范围，逐步缩小范围。

1.2 优化策略

• 掌握最优的称量次数，提高效率。

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