一元二次函数方程和不等式的思维导图
# 《一元二次函数方程和不等式的思维导图》
## I. 一元二次函数
### A. 定义与一般形式
* **定义:** 形如 `f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)` 的函数，其中a, b, c为常数。
* **一般形式:** `f(x) = ax² + bx + c`
* **项的识别:**
* 二次项: `ax²`
* 一次项: `bx`
* 常数项: `c`
* 系数的识别: a, b, c (注意 a ≠ 0)
### B. 图像与性质
* **抛物线:** 一元二次函数的图像是抛物线。
* **开口方向:**
* `a > 0` : 开口向上 (有最小值)
* `a < 0` : 开口向下 (有最大值)
* **对称轴:** `x = -b / 2a`
* **顶点坐标:** `(-b / 2a, (4ac - b²) / 4a)` 或 `(-b / 2a, f(-b / 2a))`
* **最值:**
* `a > 0` : 当 `x = -b / 2a` 时，函数有最小值 `(4ac - b²) / 4a`
* `a < 0` : 当 `x = -b / 2a` 时，函数有最大值 `(4ac - b²) / 4a`
* **与y轴交点:** (0, c)
* **单调性:**
* `a > 0`:
* 在 `(-∞, -b / 2a)` 上单调递减
* 在 `(-b / 2a, +∞)` 上单调递增
* `a < 0`:
* 在 `(-∞, -b / 2a)` 上单调递增
* 在 `(-b / 2a, +∞)` 上单调递减
### C. 函数的解析式表示
* **一般式:** `f(x) = ax² + bx + c` (已知三个点的坐标或三个函数值)
* **顶点式:** `f(x) = a(x - h)² + k` (已知顶点坐标(h, k)或对称轴和最值)
* **零点式:** `f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)` (已知与x轴的两个交点x₁, x₂)
### D. 函数图像的变换
* **平移:**
* 左加右减: `f(x + h)` (向左平移h个单位， h > 0) , `f(x - h)` (向右平移h个单位, h > 0)
* 上加下减: `f(x) + k` (向上平移k个单位, k > 0) , `f(x) - k` (向下平移k个单位, k > 0)
* **对称:**
* 关于x轴对称: `-f(x)`
* 关于y轴对称: `f(-x)`
* 关于原点对称: `-f(-x)`
* 关于直线 x = a 对称: `f(2a - x)`
* **伸缩变换:**
* 横坐标伸缩: `f(ωx)` （`ω > 1` 缩短， `0 < ω < 1` 伸长）
* 纵坐标伸缩: `Af(x)` （`A > 1` 伸长， `0 < A < 1` 缩短）
## II. 一元二次方程
### A. 定义与一般形式
* **定义:** 形如 `ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)` 的方程。
* **一般形式:** `ax² + bx + c = 0`
### B. 判别式 Δ
* **Δ = b² - 4ac**
* **Δ > 0:** 方程有两个不相等的实数根。
* **Δ = 0:** 方程有两个相等的实数根。
* **Δ < 0:** 方程没有实数根 (有两个共轭复数根)。
### C. 求根公式
* **x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a**
### D. 根与系数的关系 (韦达定理)
* **x₁ + x₂ = -b / a**
* **x₁ * x₂ = c / a**
* **(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = b²/a² - 4c/a = (b² - 4ac) / a² = Δ/a²**
### E. 方程根的分布
* **根的个数:** 依赖于判别式 Δ。
* **根的正负:** 依赖于根与系数的关系。
* **根的大小:** 结合函数图像判断，需要考虑对称轴位置和函数在特定点的值。
* 例：方程有两个正根的条件： Δ ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁ * x₂ > 0
* 例：方程有两个负根的条件： Δ ≥ 0, x₁ + x₂ < 0, x₁ * x₂ > 0
* 例：方程有一个正根和一个负根的条件： x₁ * x₂ < 0
## III. 一元二次不等式
### A. 定义与一般形式
* **定义:** 含有未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，如 `ax² + bx + c > 0 (a ≠ 0)` 或 `ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)`。
* **一般形式:** `ax² + bx + c > 0` , `ax² + bx + c ≥ 0` , `ax² + bx + c < 0` , `ax² + bx + c ≤ 0`。
### B. 解法
* **化为一般形式:** 确保a > 0 (如果a < 0，不等式两边同乘以-1，并改变不等号方向)。
* **计算判别式 Δ:** Δ = b² - 4ac。
* **求方程的根:** 利用求根公式或因式分解求出方程 `ax² + bx + c = 0` 的根 x₁ 和 x₂ (如果存在)。
* **结合函数图像:**
* **Δ > 0:** 抛物线与x轴有两个交点，根据开口方向确定不等式的解集。
* `ax² + bx + c > 0` 的解集: `x < x₁ 或 x > x₂` (a > 0)
* `ax² + bx + c < 0` 的解集: `x₁ < x < x₂` (a > 0)
* **Δ = 0:** 抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上。
* `ax² + bx + c > 0` 的解集: `x ≠ -b / 2a` (a > 0)
* `ax² + bx + c < 0` 的解集: ∅ (空集) (a > 0)
* **Δ < 0:** 抛物线与x轴没有交点。
* `ax² + bx + c > 0` 的解集: R (全体实数) (a > 0)
* `ax² + bx + c < 0` 的解集: ∅ (空集) (a > 0)
* **写出解集:** 根据图像判断不等式的解集，注意是否包含端点值。
### C. 综合应用
* **不等式恒成立问题:** 将问题转化为求函数的最值问题，然后根据最值满足的条件求解。
* **参数范围问题:** 构造关于参数的不等式，求解不等式得到参数的范围。
* **实际应用问题:** 建立一元二次函数、方程或不等式模型，解决实际问题。
## IV. 总结
一元二次函数、方程和不等式之间联系紧密，可以通过函数图像进行相互转化，利用数形结合的思想解决问题。 判别式、顶点坐标、对称轴、根与系数的关系是重要的工具。 理解和掌握这些概念和方法，能够有效解决相关问题。
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