《一元二次函数方程和不等式的思维导图》

I. 一元二次函数

A. 定义与一般形式

• 定义: 形如 f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中a, b, c为常数。
• 一般形式: f(x) = ax² + bx + c
• 项的识别:
  • 二次项: ax²
  • 一次项: bx
  • 常数项: c
  • 系数的识别: a, b, c (注意 a ≠ 0)

B. 图像与性质

• 抛物线: 一元二次函数的图像是抛物线。
• 开口方向:
  • a > 0 : 开口向上 (有最小值)
  • a < 0 : 开口向下 (有最大值)
• 对称轴: x = -b / 2a
• 顶点坐标: (-b / 2a, (4ac - b²) / 4a) 或 (-b / 2a, f(-b / 2a))
• 最值:
  • a > 0 : 当 x = -b / 2a 时，函数有最小值 (4ac - b²) / 4a
  • a < 0 : 当 x = -b / 2a 时，函数有最大值 (4ac - b²) / 4a
• 与y轴交点: (0, c)
• 单调性:
  • a > 0:
    • 在 (-∞, -b / 2a) 上单调递减
    • 在 (-b / 2a, +∞) 上单调递增
  • a < 0:
    • 在 (-∞, -b / 2a) 上单调递增
    • 在 (-b / 2a, +∞) 上单调递减

C. 函数的解析式表示

• 一般式: f(x) = ax² + bx + c (已知三个点的坐标或三个函数值)
• 顶点式: f(x) = a(x - h)² + k (已知顶点坐标(h, k)或对称轴和最值)
• 零点式: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) (已知与x轴的两个交点x₁, x₂)

D. 函数图像的变换

• 平移:
  • 左加右减: f(x + h) (向左平移h个单位， h > 0) , f(x - h) (向右平移h个单位, h > 0)
  • 上加下减: f(x) + k (向上平移k个单位, k > 0) , f(x) - k (向下平移k个单位, k > 0)
• 对称:
  • 关于x轴对称: -f(x)
  • 关于y轴对称: f(-x)
  • 关于原点对称: -f(-x)
  • 关于直线 x = a 对称: f(2a - x)
• 伸缩变换:
  • 横坐标伸缩: f(ωx) （ω > 1 缩短， 0 < ω < 1 伸长）
  • 纵坐标伸缩: Af(x) （A > 1 伸长， 0 < A < 1 缩短）

II. 一元二次方程

A. 定义与一般形式

• 定义: 形如 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方程。
• 一般形式: ax² + bx + c = 0

B. 判别式 Δ

• Δ = b² - 4ac
• Δ > 0: 方程有两个不相等的实数根。
• Δ = 0: 方程有两个相等的实数根。
• Δ < 0: 方程没有实数根 (有两个共轭复数根)。

C. 求根公式

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

D. 根与系数的关系 (韦达定理)

• x₁ + x₂ = -b / a
• *x₁ x₂ = c / a**
• (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = b²/a² - 4c/a = (b² - 4ac) / a² = Δ/a²

E. 方程根的分布

• 根的个数: 依赖于判别式 Δ。
• 根的正负: 依赖于根与系数的关系。
• 根的大小: 结合函数图像判断，需要考虑对称轴位置和函数在特定点的值。
  • 例：方程有两个正根的条件： Δ ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁ * x₂ > 0
  • 例：方程有两个负根的条件： Δ ≥ 0, x₁ + x₂ < 0, x₁ * x₂ > 0
  • 例：方程有一个正根和一个负根的条件： x₁ * x₂ < 0

III. 一元二次不等式

A. 定义与一般形式

• 定义: 含有未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，如 ax² + bx + c > 0 (a ≠ 0) 或 ax² + bx + c < 0 (a ≠ 0)。
• 一般形式: ax² + bx + c > 0 , ax² + bx + c ≥ 0 , ax² + bx + c < 0 , ax² + bx + c ≤ 0。

B. 解法

• 化为一般形式: 确保a > 0 (如果a < 0，不等式两边同乘以-1，并改变不等号方向)。
• 计算判别式 Δ: Δ = b² - 4ac。
• 求方程的根: 利用求根公式或因式分解求出方程 ax² + bx + c = 0 的根 x₁ 和 x₂ (如果存在)。
• 结合函数图像:
  • Δ > 0: 抛物线与x轴有两个交点，根据开口方向确定不等式的解集。
    • ax² + bx + c > 0 的解集: x < x₁ 或 x > x₂ (a > 0)
    • ax² + bx + c < 0 的解集: x₁ < x < x₂ (a > 0)
  • Δ = 0: 抛物线与x轴有一个交点，即顶点在x轴上。
    • ax² + bx + c > 0 的解集: x ≠ -b / 2a (a > 0)
    • ax² + bx + c < 0 的解集: ∅ (空集) (a > 0)
  • Δ < 0: 抛物线与x轴没有交点。
    • ax² + bx + c > 0 的解集: R (全体实数) (a > 0)
    • ax² + bx + c < 0 的解集: ∅ (空集) (a > 0)
• 写出解集: 根据图像判断不等式的解集，注意是否包含端点值。

C. 综合应用

• 不等式恒成立问题: 将问题转化为求函数的最值问题，然后根据最值满足的条件求解。
• 参数范围问题: 构造关于参数的不等式，求解不等式得到参数的范围。
• 实际应用问题: 建立一元二次函数、方程或不等式模型，解决实际问题。

IV. 总结

一元二次函数、方程和不等式之间联系紧密，可以通过函数图像进行相互转化，利用数形结合的思想解决问题。 判别式、顶点坐标、对称轴、根与系数的关系是重要的工具。 理解和掌握这些概念和方法，能够有效解决相关问题。

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