《数学五年级单元维导图》

一、小数乘法

• 1. 小数乘整数

  • 1.1 意义: 与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。例如：1.5 × 3 表示求 3 个 1.5 的和。
  • 1.2 计算方法:
    • 将小数转化为整数进行计算。
    • 按照整数乘法的法则进行计算。
    • 数出因数中小数部分共有几位，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 1.3 注意事项:
    • 积的小数位数不够时，在前面用 0 补足。
    • 积的末尾有 0 时，要去掉末尾的 0。

• 2. 小数乘小数

  • 2.1 意义: 与整数乘法意义类似，扩展到求一个数的几分之几是多少。例如：1.2 × 0.5 表示求 1.2 的一半是多少。
  • 2.2 计算方法:
    • 将小数转化为整数进行计算。
    • 按照整数乘法的法则进行计算。
    • 数出因数中小数部分共有几位，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 2.3 注意事项:
    • 积的小数位数不够时，在前面用 0 补足。
    • 积的末尾有 0 时，要去掉末尾的 0。

• 3. 积的近似数

  • 3.1 方法: 用“四舍五入”法取近似数。
  • 3.2 保留位数: 根据需要保留相应的位数（整数，一位小数，两位小数等）。
  • 3.3 注意事项:
    • 先计算出准确值，再取近似值。
    • 注意进一法和去尾法在特殊情况下的应用。

• 4. 整数乘法运算定律推广到小数

  • 4.1 适用定律: 乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
  • 4.2 运用: 运用运算定律进行简便计算。
  • 4.3 例子:
    • 交换律：a × b = b × a
    • 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
    • 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c

• 5.解决问题

  • 5.1 实际应用: 购物，计算面积，计算单价等。
  • 5.2 审题: 仔细阅读题目，理解题意，找出已知条件和所求问题。
  • 5.3 分析: 分析数量关系，确定解题思路。
  • 5.4 解答: 列式计算，注意单位。
  • 5.5 检验: 检查计算是否正确，答案是否符合实际。

二、位置

• 1. 用数对表示位置

  • 1.1 数对的含义: 由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。
  • 1.2 表示方法: (列数，行数)
  • 1.3 确定位置: 根据给定的数对，在平面图上找到对应的位置。
  • 1.4 应用: 在地图、教室座位等场景中确定位置。

• 2. 描述简单的路线图

  • 2.1 方向: 东、南、西、北、东北、东南、西北、西南。
  • 2.2 距离: 图上距离与实际距离的比。
  • 2.3 路线描述: 从哪里出发，向什么方向走多少米/千米到达哪里。
  • 2.4 绘制路线图: 根据描述，绘制简单的路线图，标明方向和距离。

三、小数除法

• 1. 除数是整数的小数除法

  • 1.1 计算方法:
    • 按照整数除法的法则进行计算。
    • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
    • 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添 0 继续除。
  • 1.2 注意事项: 商中间有 0 的情况。

• 2. 除数是小数的小数除法

  • 2.1 计算方法:
    • 先移动除数的小数点，使它变成整数。
    • 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。
    • 按照除数是整数的小数除法进行计算。

• 3. 商的近似数

  • 3.1 方法: 用“四舍五入”法取近似数。
  • 3.2 保留位数: 根据需要保留相应的位数。
  • 3.3 注意事项: 先计算出准确值（多算一位），再取近似值。

• 4. 循环小数

  • 4.1 定义: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 4.2 循环节: 一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字。
  • 4.3 简便写法: 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点，或者只在循环节的第一个数字上点圆点。
  • 4.4 有限小数与无限小数: 小数位数是有限的，叫做有限小数；小数位数是无限的，叫做无限小数。 循环小数是无限小数。

• 5. 用计算器探索规律

  • 5.1 发现规律: 利用计算器进行计算，观察结果，发现算式之间的规律。
  • 5.2 应用规律: 运用发现的规律进行简便计算或预测结果。

• 6. 解决问题

  • 6.1 实际应用: 单价、数量、总价之间的关系；速度、时间、路程之间的关系。
  • 6.2 审题、分析、解答、检验: 与小数乘法解决问题的步骤类似。

• 7. 估算

  • 7.1 方法: 将数字估成整十、整百、整千数再进行计算。
  • 7.2 应用: 判断计算结果的合理性，解决生活中的实际问题。

四、简易方程

• 1. 用字母表示数

  • 1.1 意义: 用字母可以表示任何数。
  • 1.2 注意事项:
    • 字母和数字相乘，可以省略乘号，数字写在字母前面。
    • 两个相同的字母相乘，可以写成平方的形式。
    • 1 与字母相乘， 1 可以省略不写。

• 2. 等式的性质

  • 2.1 性质一: 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
  • 2.2 性质二: 等式两边同时乘或除以同一个数（除数不能为 0），左右两边仍然相等。

• 3. 解方程

  • 3.1 方程的定义: 含有未知数的等式叫做方程。
  • 3.2 解方程的定义: 求方程的解的过程叫做解方程。
  • 3.3 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值。
  • 3.4 解方程的依据: 等式的性质。
  • 3.5 步骤: 根据等式的性质，将方程转化为 x = a 的形式。
  • 3.6 检验: 将求出的解代入原方程，看左右两边是否相等。

• 4. 列方程解决问题

  • 4.1 步骤:
    • 审题：理解题意，找出已知条件和所求问题。
    • 找等量关系：分析数量关系，找出包含未知数的等量关系式。
    • 设未知数：用字母表示未知数。
    • 列方程：根据等量关系式列出方程。
    • 解方程：求出方程的解。
    • 检验：检查解是否符合实际情况。
    • 作答：写出答案。
  • 4.2 类型: 简单的加减乘除应用题；稍复杂的应用题（需要根据多个数量关系列方程）。

五、多边形的面积

• 1. 平行四边形的面积

  • 1.1 公式: S = 底 × 高 (S = ah)
  • 1.2 推导: 通过割补法，将平行四边形转化为长方形。
  • 1.3 注意事项: 底和高必须对应。

• 2. 三角形的面积

  • 2.1 公式: S = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
  • 2.2 推导: 通过拼组法，将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
  • 2.3 注意事项: 底和高必须对应，要除以 2。

• 3. 梯形的面积

  • 3.1 公式: S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 [S = (a + b)h ÷ 2]
  • 3.2 推导: 通过拼组法，将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。
  • 3.3 注意事项: 上底、下底和高必须对应，要除以 2。

• 4. 组合图形的面积

  • 4.1 定义: 由几个简单的图形组成的图形。
  • 4.2 方法: 分割法、添补法。
  • 4.3 步骤:
    • 观察图形，分析其组成。
    • 选择合适的分割或添补方法。
    • 计算各部分图形的面积。
    • 将各部分面积相加或相减，求出组合图形的面积。

• 5. 不规则图形的面积

  • 5.1 方法: 数格子的方法、估算的方法。
  • 5.2 注意事项: 尽量使估算结果接近实际值。

六、统计与可能性

• 1. 可能性大小

  • 1.1 可能性: 事件发生的概率。
  • 1.2 大小判断: 可能性的大小与事件发生的概率有关，概率越大，可能性越大。
  • 1.3 等可能性: 每个事件发生的可能性相同。

• 2. 用分数表示可能性

  • 2.1 总情况数: 所有可能发生的情况的总数。
  • 2.2 发生情况数: 符合要求的情况的数目。
  • 2.3 可能性: 发生情况数 ÷ 总情况数。

• 3. 公平游戏

  • 3.1 定义: 游戏中每个参与者获胜的可能性相等。
  • 3.2 判断: 判断游戏规则是否公平，关键是看每个参与者获胜的可能性是否相等。
  • 3.3 设计: 设计公平的游戏规则，保证每个参与者获胜的可能性相等。