数学三角函数思维导图

# 《数学三角函数思维导图》 ## 一、三角函数的定义与性质 ### 1.1 角的概念的推广 * **正角、负角、零角：** 以逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，不旋转为零。 * **象限角：** 终边落在第几象限就是第几象限角。 * **终边相同的角：** α + 2kπ (k ∈ Z)， 表示与角α终边相同的角。 ### 1.2 弧度制 * **定义：** 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 * **换算关系：** 180° = π rad * **弧长公式：** l = |α|r * **扇形面积公式：** S = (1/2)lr = (1/2)|α|r² ### 1.3 三角函数的定义 (单位圆定义) * **设角α终边上一点P(x, y)， r = √(x² + y²)** * **正弦函数 (sinα):** y/r * **余弦函数 (cosα):** x/r * **正切函数 (tanα):** y/x (x ≠ 0) * **余切函数 (cotα):** x/y (y ≠ 0) * **正割函数 (secα):** r/x (x ≠ 0) * **余割函数 (cscα):** r/y (y ≠ 0) ### 1.4 三角函数的符号规律 * **记忆口诀：** 一全正，二正弦，三正切，四余弦 (分别对应四个象限) ### 1.5 同角三角函数的基本关系 * **平方关系：** sin²α + cos²α = 1, 1 + tan²α = sec²α, 1 + cot²α = csc²α * **商的关系：** tanα = sinα/cosα, cotα = cosα/sinα * **倒数关系：** sinα · cscα = 1, cosα · secα = 1, tanα · cotα = 1 ### 1.6 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) * **公式一：** sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα * **公式二：** sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα * **公式三：** sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα * **公式四：** sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα * **公式五：** sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα * **公式六：** sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα ## 二、三角函数的图像与性质 ### 2.1 正弦函数 y = sinx * **定义域：** R * **值域：** [-1, 1] * **周期：** 2π * **奇偶性：** 奇函数 * **单调性：** * 增区间： [-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ], k ∈ Z * 减区间： [(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ], k ∈ Z * **最值：** 当 x = (π/2) + 2kπ时，ymax = 1；当 x = -(π/2) + 2kπ时，ymin = -1 * **对称性：** 对称中心 (kπ, 0), 对称轴 x = (π/2) + kπ, k ∈ Z ### 2.2 余弦函数 y = cosx * **定义域：** R * **值域：** [-1, 1] * **周期：** 2π * **奇偶性：** 偶函数 * **单调性：** * 增区间： [-(π) + 2kπ, 2kπ], k ∈ Z * 减区间： [2kπ, π + 2kπ], k ∈ Z * **最值：** 当 x = 2kπ时，ymax = 1；当 x = π + 2kπ时，ymin = -1 * **对称性：** 对称中心 ((π/2) + kπ, 0), 对称轴 x = kπ, k ∈ Z ### 2.3 正切函数 y = tanx * **定义域：** {x | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z} * **值域：** R * **周期：** π * **奇偶性：** 奇函数 * **单调性：** 在每个区间 (-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) 上都是增函数, k ∈ Z * **对称中心：** (kπ, 0), k ∈ Z * **无最大最小值** ### 2.4 函数 y = Asin(ωx + φ) * **A：** 振幅，影响值域 * **ω：** 影响周期，T = 2π/|ω| * **φ：** 影响图像平移，向左平移φ个单位 (当φ>0)，向右平移|φ|个单位 (当φ<0) * **相位：** ωx + φ ## 三、三角恒等变换 ### 3.1 和角公式 * **sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ** * **cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ** * **tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)** ### 3.2 差角公式 * **sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ** * **cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ** * **tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)** ### 3.3 倍角公式 * **sin2α = 2sinαcosα** * **cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α** * **tan2α = (2tanα) / (1 - tan²α)** ### 3.4 半角公式 * **sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]** * **cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]** * **tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)] = sinα / (1 + cosα) = (1 - cosα) / sinα** ### 3.5 万能公式 * **sinα = (2tan(α/2)) / (1 + tan²(α/2))** * **cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))** * **tanα = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))** ### 3.6 积化和差公式 * **sinαcosβ = (1/2)[sin(α + β) + sin(α - β)]** * **cosαsinβ = (1/2)[sin(α + β) - sin(α - β)]** * **cosαcosβ = (1/2)[cos(α + β) + cos(α - β)]** * **sinαsinβ = -(1/2)[cos(α + β) - cos(α - β)]** ### 3.7 和差化积公式 * **sinα + sinβ = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2)** * **sinα - sinβ = 2cos((α + β)/2)sin((α - β)/2)** * **cosα + cosβ = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2)** * **cosα - cosβ = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)** ## 四、解三角形 ### 4.1 正弦定理 * **a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R是外接圆半径)** ### 4.2 余弦定理 * **a² = b² + c² - 2bccosA** * **b² = a² + c² - 2accosB** * **c² = a² + b² - 2abcosC** ### 4.3 面积公式 * **S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB** * **S = (1/2)ah = pr (p为半周长, r为内切圆半径)** * **海伦公式: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], p = (a+b+c)/2** ### 4.4 解三角形的类型 * **已知两角和一边：** 用正弦定理 * **已知两边和一边的对角：** 用正弦定理，注意解的个数 (一解，两解，无解) * **已知两边和夹角：** 用余弦定理 * **已知三边：** 用余弦定理 ## 五、三角函数的应用 ### 5.1 向量的应用 * **向量的坐标表示：** 向量与三角函数结合计算夹角，模长等。 * **向量的数量积：** a · b = |a||b|cosθ，可用于求角度等。 ### 5.2 物理应用 * **简谐运动：** y = Asin(ωt + φ)，描述振动 * **交流电：** 电流、电压随时间的变化 ### 5.3 几何应用 * **计算几何问题：** 如求面积、体积、角度等 * **参数方程：** 圆、椭圆等的参数方程 ### 5.4 实际问题 * **测量问题：** 测量高度、距离等 * **航海问题：** 确定方位、航速等 * **工程问题：** 设计桥梁、隧道等 ## 六、总结 三角函数是数学中的重要内容，涉及概念、性质、公式众多。理解定义，掌握图像性质，熟练运用公式，才能灵活解决相关问题。 同时注意三角函数与其他知识点的结合，如向量、物理、几何等，拓展应用范围。

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