《数学三角函数思维导图》
一、三角函数的定义与性质
1.1 角的概念的推广
- 正角、负角、零角： 以逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，不旋转为零。
- 象限角： 终边落在第几象限就是第几象限角。
- 终边相同的角： α + 2kπ (k ∈ Z)， 表示与角α终边相同的角。
1.2 弧度制
- 定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
- 换算关系： 180° = π rad
- 弧长公式： l = |α|r
- 扇形面积公式： S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
1.3 三角函数的定义 (单位圆定义)
- 设角α终边上一点P(x, y)， r = √(x² + y²)
- 正弦函数 (sinα): y/r
- 余弦函数 (cosα): x/r
- 正切函数 (tanα): y/x (x ≠ 0)
- 余切函数 (cotα): x/y (y ≠ 0)
- 正割函数 (secα): r/x (x ≠ 0)
- 余割函数 (cscα): r/y (y ≠ 0)
1.4 三角函数的符号规律
- 记忆口诀： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 (分别对应四个象限)
1.5 同角三角函数的基本关系
- 平方关系： sin²α + cos²α = 1, 1 + tan²α = sec²α, 1 + cot²α = csc²α
- 商的关系： tanα = sinα/cosα, cotα = cosα/sinα
- 倒数关系： sinα · cscα = 1, cosα · secα = 1, tanα · cotα = 1
1.6 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)
- 公式一： sin(α + 2kπ) = sinα, cos(α + 2kπ) = cosα, tan(α + 2kπ) = tanα
- 公式二： sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα
- 公式三： sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα
- 公式四： sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα
- 公式五： sin(π/2 - α) = cosα, cos(π/2 - α) = sinα
- 公式六： sin(π/2 + α) = cosα, cos(π/2 + α) = -sinα
二、三角函数的图像与性质
2.1 正弦函数 y = sinx
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期： 2π
- 奇偶性： 奇函数
- 单调性：
- 增区间： [-(π/2) + 2kπ, (π/2) + 2kπ], k ∈ Z
- 减区间： [(π/2) + 2kπ, (3π/2) + 2kπ], k ∈ Z
- 最值： 当 x = (π/2) + 2kπ时，ymax = 1；当 x = -(π/2) + 2kπ时，ymin = -1
- 对称性： 对称中心 (kπ, 0), 对称轴 x = (π/2) + kπ, k ∈ Z
2.2 余弦函数 y = cosx
- 定义域： R
- 值域： [-1, 1]
- 周期： 2π
- 奇偶性： 偶函数
- 单调性：
- 增区间： [-(π) + 2kπ, 2kπ], k ∈ Z
- 减区间： [2kπ, π + 2kπ], k ∈ Z
- 最值： 当 x = 2kπ时，ymax = 1；当 x = π + 2kπ时，ymin = -1
- 对称性： 对称中心 ((π/2) + kπ, 0), 对称轴 x = kπ, k ∈ Z
2.3 正切函数 y = tanx
- 定义域： {x | x ≠ (π/2) + kπ, k ∈ Z}
- 值域： R
- 周期： π
- 奇偶性： 奇函数
- 单调性： 在每个区间 (-(π/2) + kπ, (π/2) + kπ) 上都是增函数, k ∈ Z
- 对称中心： (kπ, 0), k ∈ Z
- 无最大最小值
2.4 函数 y = Asin(ωx + φ)
- A： 振幅，影响值域
- ω： 影响周期，T = 2π/|ω|
- φ： 影响图像平移，向左平移φ个单位 (当φ>0)，向右平移|φ|个单位 (当φ<0)
- 相位： ωx + φ
三、三角恒等变换
3.1 和角公式
- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
- tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
3.2 差角公式
- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
- tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
3.3 倍角公式
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = (2tanα) / (1 - tan²α)
3.4 半角公式
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)] = sinα / (1 + cosα) = (1 - cosα) / sinα
3.5 万能公式
- sinα = (2tan(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
- cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
- tanα = (2tan(α/2)) / (1 - tan²(α/2))
3.6 积化和差公式
- sinαcosβ = (1/2)[sin(α + β) + sin(α - β)]
- cosαsinβ = (1/2)[sin(α + β) - sin(α - β)]
- cosαcosβ = (1/2)[cos(α + β) + cos(α - β)]
- sinαsinβ = -(1/2)[cos(α + β) - cos(α - β)]
3.7 和差化积公式
- sinα + sinβ = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2)
- sinα - sinβ = 2cos((α + β)/2)sin((α - β)/2)
- cosα + cosβ = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2)
- cosα - cosβ = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)
四、解三角形
4.1 正弦定理
- a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R是外接圆半径)
4.2 余弦定理
- a² = b² + c² - 2bccosA
- b² = a² + c² - 2accosB
- c² = a² + b² - 2abcosC
4.3 面积公式
- S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
- S = (1/2)ah = pr (p为半周长, r为内切圆半径)
- 海伦公式: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], p = (a+b+c)/2
4.4 解三角形的类型
- 已知两角和一边： 用正弦定理
- 已知两边和一边的对角： 用正弦定理，注意解的个数 (一解，两解，无解)
- 已知两边和夹角： 用余弦定理
- 已知三边： 用余弦定理
五、三角函数的应用
5.1 向量的应用
- 向量的坐标表示： 向量与三角函数结合计算夹角，模长等。
- 向量的数量积： a · b = |a||b|cosθ，可用于求角度等。
5.2 物理应用
- 简谐运动： y = Asin(ωt + φ)，描述振动
- 交流电： 电流、电压随时间的变化
5.3 几何应用
- 计算几何问题： 如求面积、体积、角度等
- 参数方程： 圆、椭圆等的参数方程
5.4 实际问题
- 测量问题： 测量高度、距离等
- 航海问题： 确定方位、航速等
- 工程问题： 设计桥梁、隧道等
六、总结
三角函数是数学中的重要内容，涉及概念、性质、公式众多。理解定义，掌握图像性质，熟练运用公式，才能灵活解决相关问题。 同时注意三角函数与其他知识点的结合，如向量、物理、几何等，拓展应用范围。