数学复习思维导图：五年级上册

一、小数乘法

1. 小数乘整数

• 概念: 几个相同的小数加法的简便运算。
• 计算方法:
  • 按照整数乘法的方法计算。
  • 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
• 注意点:
  • 末尾有0的处理：先按照整数乘法计算，计算完毕后，再点小数点，如果积的末尾有0，要根据小数的性质进行化简。
• 思维导图:
  • 小数乘整数
    • 概念：相同小数加法的简便运算
    • 计算方法
      • 整数乘法计算
      • 数小数位数
      • 点小数点
    • 注意点
      • 末尾0的处理：化简

2. 小数乘小数

• 概念: 两个小数相乘。
• 计算方法:
  • 按照整数乘法的方法计算。
  • 看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 如果位数不够，用0补足。
• 技巧:
  • 估算：先将小数估算成整数，然后进行计算，可以验证结果的合理性。
• 规律:
  • 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。
  • 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。
• 思维导图:
  • 小数乘小数
    • 概念：两个小数相乘
    • 计算方法
      • 整数乘法计算
      • 数小数位数
      • 点小数点
      • 位数不够，0补足
    • 技巧：估算
    • 规律
      • 乘大于1的数，积变大
      • 乘小于1的数，积变小

3. 积的近似数

• 方法: 先算出积，然后按照要求用“四舍五入”法取近似数。
• 注意: 保留整数，表示精确到个位；保留一位小数，表示精确到十分位；保留两位小数，表示精确到百分位…
• 思维导图:
  • 积的近似数
    • 计算出积
    • 四舍五入法
    • 根据要求保留小数位数

4. 连乘、乘加、乘减

• 运算顺序: 和整数的运算顺序相同。
  • 有括号的，先算括号里面的。
  • 没有括号的，先算乘法，后算加减法。
• 简便计算: 可以运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算。
• 思维导图:
  • 混合运算
    • 运算顺序
      • 括号内优先
      • 乘除优先加减
    • 简便计算
      • 乘法交换律
      • 乘法结合律
      • 乘法分配律

二、位置

1. 用数对表示位置

• 概念: 用两个数表示一个物体的位置。
• 表示方法: 先表示第几列，再表示第几行，用括号括起来，中间用逗号隔开。例如 (3, 5) 表示第3列，第5行。
• 列和行的确定: 观察者的角度。
• 规律:
  • 同一列，第一个数相同。
  • 同一行，第二个数相同。
• 思维导图:
  • 位置
    • 概念：用两个数确定位置
    • 表示方法：(列, 行)
    • 确定列和行：观察者角度
    • 规律
      • 同一列：第一个数相同
      • 同一行：第二个数相同

三、小数除法

1. 除数是整数的小数除法

• 计算方法:
  • 按照整数除法的方法计算。
  • 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  • 如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
• 特殊情况:
  • 整数部分不够除，商0，点上小数点。
• 思维导图:
  • 除数是整数的小数除法
    • 计算方法
      • 整数除法计算
      • 小数点对齐
      • 余数添0继续除
    • 特殊情况：整数部分不够除，商0

2. 除数是小数的小数除法

• 计算方法:
  • 先把除数的小数点向右移动，使它变成整数。
  • 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）。
  • 按照除数是整数的小数除法进行计算。
• 思维导图:
  • 除数是小数的小数除法
    • 计算方法
      • 除数变整数：小数点右移
      • 被除数小数点同步右移：不够补0
      • 按除数是整数的小数除法计算

3. 商的近似数

• 方法: 除到要保留的数位的下一位，然后按照“四舍五入”法求近似数。
• 循环小数: 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 循环节: 循环小数中重复出现的数字。
  • 简便写法: 在循环节的第一个数字和最后一个数字的上面点一个点。
• 有限小数: 小数的位数是有限的。
• 无限小数: 小数的位数是无限的。
• 思维导图:
  • 商的近似数
    • 计算到下一位
    • 四舍五入法
  • 循环小数
    • 定义：小数部分重复出现数字
    • 循环节：重复出现的数字
    • 简便写法：在循环节的首尾点点
  • 小数分类
    • 有限小数
    • 无限小数

4. 循环小数

• 定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的小数。
• 循环节： 在循环小数中，依次不断重复出现的数字叫做循环节。
• 简写方法： 在第一个循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就在这个数字上点一个圆点。
• 思维导图: (见上)

5. 用计算器探索规律

• 利用计算器进行快速计算。
• 观察算式及结果，寻找规律。
• 总结规律，并用规律解决问题。
• 思维导图：
  • 计算器探索规律
    • 计算器快速计算
    • 观察算式及结果
    • 寻找规律
    • 应用规律解决问题

四、简易方程

1. 用字母表示数

• 作用: 简洁地表达数量关系、运算定律和计算公式。
• 注意:
  • 数字和字母相乘，省略乘号，数字在前，字母在后。
  • 1和字母相乘，1省略不写。
• 思维导图:
  • 用字母表示数
    • 作用：简化表达
    • 注意事项
      • 省略乘号
      • 数字在前，字母在后
      • 1和字母相乘，1省略

2. 等式的性质

• 性质一: 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
• 性质二: 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
• 思维导图:
  • 等式的性质
    • 性质一：两边同时加减相同数，等式不变
    • 性质二：两边同时乘除相同数(0除外)，等式不变

3. 解方程

• 概念: 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。
• 解方程的依据: 等式的性质。
• 检验方法: 将求出的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。
• 思维导图:
  • 解方程
    • 概念：求未知数的值
    • 依据：等式的性质
    • 检验：代入原方程

4. 列方程解决问题

• 步骤:
  • 找等量关系。
  • 设未知数为x。
  • 根据等量关系列方程。
  • 解方程。
  • 检验并写答。
• 常见的等量关系:
  • 和、差、倍、分
  • 路程=速度×时间
  • 总价=单价×数量
  • 工作总量=工作效率×工作时间
• 思维导图:
  • 列方程解决问题
    • 步骤
      • 找等量关系
      • 设未知数
      • 列方程
      • 解方程
      • 检验并作答
    • 常见等量关系：和差倍分，路程，总价，工作总量

五、多边形的面积

1. 平行四边形的面积

• 公式: 面积 = 底 × 高 (S = ah)
• 推导过程: 沿高剪开，平移，转化为长方形。
• 思维导图:
  • 平行四边形的面积
    • 公式：S = ah
    • 推导：割补法 -> 长方形

2. 三角形的面积

• 公式: 面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
• 推导过程: 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
• 思维导图:
  • 三角形的面积
    • 公式：S = ah / 2
    • 推导：两个三角形 -> 平行四边形

3. 梯形的面积

• 公式: 面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
• 推导过程: 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
• 思维导图:
  • 梯形的面积
    • 公式：S = (a + b)h / 2
    • 推导：两个梯形 -> 平行四边形

4. 组合图形的面积

• 方法:
  • 分割法: 把组合图形分割成几个基本图形。
  • 添补法: 把组合图形添补成一个基本图形。
• 思维导图:
  • 组合图形的面积
    • 分割法：分割成基本图形
    • 添补法：添补成基本图形

六、数学广角——植树问题

1. 植树问题（不封闭线路）

• 两端都要栽: 棵数 = 间隔数 + 1
• 只有一端栽: 棵数 = 间隔数
• 两端都不栽: 棵数 = 间隔数 - 1
• 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度

2. 植树问题（封闭线路）

• 棵数 = 间隔数
• 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度

3. 锯木头问题

• 锯的次数 = 段数 - 1

4. 爬楼梯问题

• 爬的层数 = 楼梯的台阶数 ÷ 每层台阶数

• 思维导图:

  • 植树问题
    • 不封闭线路
      • 两端栽：棵数 = 间隔数 + 1
      • 一端栽：棵数 = 间隔数
      • 两端不栽：棵数 = 间隔数 - 1
    • 封闭线路：棵数 = 间隔数
    • 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度
    • 锯木头：锯的次数 = 段数 - 1
    • 爬楼梯：爬的层数 = 楼梯的台阶数 ÷ 每层台阶数

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