《数学六单元思维导图,五年级上册》

一、多边形的面积

• 1.1 平行四边形的面积

  • 1.1.1 定义: 两组对边分别平行的四边形。
  • 1.1.2 性质: 对边相等，对角相等。
  • 1.1.3 面积公式: 底 × 高 (S = bh)
  • 1.1.4 公式推导: 通过剪切和平移，将平行四边形转化为长方形，利用长方形面积公式推导。
  • 1.1.5 注意事项: 高必须是底边上的高，且与底边垂直。
  • 1.1.6 实际应用: 计算平行四边形花坛、广告牌等的面积。

• 1.2 三角形的面积

  • 1.2.1 定义: 由三条线段围成的封闭图形。
  • 1.2.2 特殊三角形: 直角三角形、等腰三角形、等边三角形。
  • 1.2.3 面积公式: 底 × 高 ÷ 2 (S = (1/2)bh)
  • 1.2.4 公式推导: 可以将两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，利用平行四边形面积公式推导。
  • 1.2.5 注意事项: 高必须是底边上的高，且与底边垂直。
  • 1.2.6 实际应用: 计算三角形土地、旗帜等的面积。

• 1.3 梯形的面积

  • 1.3.1 定义: 只有一组对边平行的四边形。
  • 1.3.2 特殊梯形: 直角梯形、等腰梯形。
  • 1.3.3 面积公式: (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (1/2)(a+b)h)
  • 1.3.4 公式推导: 可以将两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，利用平行四边形面积公式推导。或者切割成两个三角形和一个长方形/平行四边形。
  • 1.3.5 注意事项: 上底、下底要分清楚，高是上下底之间的垂直距离。
  • 1.3.6 实际应用: 计算梯形水渠、堤坝等的面积。

• 1.4 组合图形的面积

  • 1.4.1 定义: 由几个简单的几何图形组合而成的图形。
  • 1.4.2 解题思路:
    • 分割法: 将组合图形分割成几个简单的图形，分别计算面积，然后相加。
    • 添补法: 在组合图形中添补一些图形，使之成为一个较大的简单图形，然后用大图形的面积减去添补的图形的面积。
  • 1.4.3 实际应用: 计算房屋、花园等的面积。
  • 1.4.4 注意事项: 灵活选择分割或添补的方法，尽量选择简单的图形进行计算。

二、小数乘法

• 2.1 小数乘整数

  • 2.1.1 意义: 与整数乘法的意义相同，即求几个相同加数的和的简便运算。
  • 2.1.2 计算方法: 先按照整数乘法的方法进行计算，再看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 2.1.3 注意事项: 积的小数部分末尾有0的，要化简。

• 2.2 小数乘小数

  • 2.2.1 意义: 求一个数的几分之几是多少。
  • 2.2.2 计算方法: 先按照整数乘法的方法进行计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  • 2.2.3 注意事项:
    • 位数不够时，用0补足。
    • 积的小数部分末尾有0的，要化简。
    • 估算：先将小数四舍五入到整数，再进行计算。

• 2.3 积的近似数

  • 2.3.1 定义: 根据需要，按照四舍五入法取积的近似数。
  • 2.3.2 方法: 先计算出准确值，再按照要求保留位数。
  • 2.3.3 实际应用: 解决生活中的实际问题，如购物、计算费用等。

• 2.4 整数乘法运算定律推广到小数

  • 2.4.1 乘法交换律: a × b = b × a
  • 2.4.2 乘法结合律: (a × b) × c = a × (b × c)
  • 2.4.3 乘法分配律: (a + b) × c = a × c + b × c
  • 2.4.4 应用: 灵活运用运算定律进行简便计算。

• 2.5 解决问题

  • 2.5.1 分析题意: 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。
  • 2.5.2 列式计算: 根据题意，列出算式并计算。
  • 2.5.3 检验答案: 检验计算是否正确，答案是否符合实际。

三、小数除法

• 3.1 除数是整数的小数除法

  • 3.1.1 计算方法: 按照整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  • 3.1.2 注意事项: 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。

• 3.2 除数是小数的小数除法

  • 3.2.1 计算方法:
    • 先移动除数的小数点，使它变成整数。
    • 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）。
    • 按照除数是整数的小数除法进行计算。
  • 3.2.2 注意事项: 注意小数点的位置，以及位数不够时补0。

• 3.3 商的近似数

  • 3.3.1 定义: 根据需要，按照四舍五入法取商的近似数。
  • 3.3.2 方法: 先计算出准确值（多除一位），再按照要求保留位数。

• 3.4 循环小数

  • 3.4.1 定义: 一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 3.4.2 循环节: 循环小数重复出现的数字叫做循环节。
  • 3.4.3 简写方法: 在循环节的第一个数字和最后一个数字的上面各点一个圆点。
  • 3.4.4 有限小数和无限小数: 小数的位数是有限的叫做有限小数；小数的位数是无限的叫做无限小数。循环小数是无限小数。

• 3.5 解决问题

  • 3.5.1 单价、数量和总价的关系: 总价 ÷ 数量 = 单价, 总价 ÷ 单价 = 数量，单价 × 数量 = 总价
  • 3.5.2 解决实际问题: 根据题意，灵活运用小数除法解决生活中的实际问题。

四、简易方程

• 4.1 用字母表示数

  • 4.1.1 用字母表示数: 可以表示任何数，包括正数、负数、分数、小数等。
  • 4.1.2 用字母表示运算定律: 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
  • 4.1.3 用字母表示计算公式: 面积公式、周长公式等。

• 4.2 方程的意义

  • 4.2.1 定义: 含有未知数的等式叫做方程。
  • 4.2.2 等式: 表示相等关系的式子叫做等式。
  • 4.2.3 判断方法: 必须是等式，且含有未知数。

• 4.3 解方程

  • 4.3.1 定义: 求方程的解的过程叫做解方程。
  • 4.3.2 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
  • 4.3.3 解方程的依据: 等式的性质。
    • 性质1: 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
    • 性质2: 等式两边同时乘或除以同一个非零的数，左右两边仍然相等。
  • 4.3.4 解方程的方法: 移项、合并同类项等。

• 4.4 列方程解决问题

  • 4.4.1 解题步骤:
    • 设未知数: 一般设所求的量为x。
    • 找等量关系: 根据题意，找出已知量和未知量之间的等量关系。
    • 列方程: 根据等量关系，列出方程。
    • 解方程: 解出方程，求出未知数的值。
    • 检验: 将求得的解代入原题检验，看是否符合题意。
    • 写答案: 将解写成完整的答案。

五、可能性

• 5.1 可能性的大小
  • 5.1.1 定义: 事件发生的可能性是有大小的。
  • 5.1.2 可能性的大小与事件发生的频率有关: 频率越高，可能性越大。
  • 5.1.3 公平性: 当所有可能性相等时，游戏才是公平的。
  • 5.1.4 计算可能性: 可能性 = (有利事件数) / (总事件数)

六、数学广角-植树问题

• 6.1 植树问题
  • 6.1.1 定义: 研究沿着一定的路线植树，棵数、间隔数和总长度之间的关系。
  • 6.1.2 分类:
    • 两端都栽: 棵数 = 间隔数 + 1, 间隔数 = 棵数 - 1，总长度 = 间隔数 × 间隔长度
    • 一端栽，一端不栽: 棵数 = 间隔数, 间隔数 = 棵数，总长度 = 间隔数 × 间隔长度
    • 两端都不栽: 棵数 = 间隔数 - 1, 间隔数 = 棵数 + 1，总长度 = 间隔数 × 间隔长度
    • 封闭图形: 棵数 = 间隔数，总长度 = 间隔数 × 间隔长度
  • 6.1.3 注意事项: 认真审题，确定属于哪种情况，灵活运用公式。
  • 6.1.4 实际应用: 解决植树、路灯、站台等相关问题。