《高中数学必修四思维导图》
一、三角函数
1.1 任意角、弧度制
- 概念：
- 角的概念推广：正角、负角、零角
- 象限角、终边相同的角
- 弧度制：
- 弧度与角度的互化： 180° = π rad
- 弧长公式：l = |α|r
- 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
1.2 三角函数的定义
- 定义：
- 单位圆定义：sinα = y, cosα = x, tanα = y/x
- 定义域与值域
- 各象限符号：
- 一全正
- 二正弦正
- 三正切正
- 四余弦正
- 同角三角函数的关系：
- 平方关系：sin²α + cos²α = 1
- 商数关系：tanα = sinα/cosα
- 倒数关系：tanα * cotα = 1
1.3 三角函数的诱导公式
- 记忆口诀：
- 奇变偶不变，符号看象限
- 常用公式：
- π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α
1.4 三角函数的图像与性质
- 正弦函数 y = sin x：
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 奇偶性：奇函数
- 周期性：T = 2π
- 单调性：[−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]增，[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]减 (k∈Z)
- 最值：max=1, min=-1
- 图像：正弦曲线
- 余弦函数 y = cos x：
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 奇偶性：偶函数
- 周期性：T = 2π
- 单调性：[2kπ, π + 2kπ]减，[π + 2kπ, 2π + 2kπ]增 (k∈Z)
- 最值：max=1, min=-1
- 图像：余弦曲线
- 正切函数 y = tan x：
- 定义域：x ≠ π/2 + kπ (k∈Z)
- 值域：R
- 奇偶性：奇函数
- 周期性：T = π
- 单调性：(kπ - π/2, kπ + π/2)增 (k∈Z)
- 图像：正切曲线
- 函数 y = Asin(ωx + φ)：
- A：振幅
- ω：频率，T = 2π/ω
- φ：初相，平移量
1.5 三角恒等变换
- 两角和差公式：
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)
- 二倍角公式：
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = (2tanα) / (1 - tan²α)
- 辅助角公式：
- asinα + bcosα = √(a² + b²) sin(α + φ), 其中 tanφ = b/a
- 半角公式（了解）：
- 不常用，使用时注意符号
二、平面向量
2.1 平面向量的概念
- 定义：
- 既有大小又有方向的量
- 表示：
- 有向线段，字母 a, b, c, AB
- 特殊向量：
- 零向量：|0| = 0，方向任意
- 单位向量：|e| = 1
- 相等向量：
- 大小相等，方向相同
- 平行向量（共线向量）：
- 方向相同或相反的非零向量
- a // b，存在实数λ，使得 a = λb
- 相反向量：
- 大小相等，方向相反
2.2 平面向量的线性运算
- 加法：
- 三角形法则
- 平行四边形法则
- 坐标运算：a(x1, y1) + b(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
- 减法：
- 三角形法则：AB - AC = CB
- 坐标运算：a(x1, y1) - b(x2, y2) = (x1-x2, y1-y2)
- 数乘：
- λa：|λa| = |λ||a|
- λ>0 方向相同，λ<0 方向相反，λ=0 零向量
- 坐标运算：λa(x, y) = (λx, λy)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
- 基本定理：
- 若e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1, λ2，使a = λ1e1 + λ2e2。 e1, e2称为一组基底
- 坐标表示：
- a(x, y)，x, y 是 a 在 x轴、y轴上的投影
- 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标：AB = OB - OA = (x2-x1, y2-y1)
2.4 平面向量的数量积
- 定义：
- a·b = |a||b|cosθ (θ是a与b的夹角)
- 性质：
- a·b = b·a
- a·a = |a|²
- a⊥b <=> a·b = 0
- 坐标运算：
- a(x1, y1), b(x2, y2)， a·b = x1x2 + y1y2
- 模长公式：
- |a| = √(x² + y²)
- 夹角公式：
- cosθ = (a·b) / (|a||b|) = (x1x2 + y1y2) / (√(x1² + y1²) * √(x2² + y2²))
2.5 平面向量的应用
- 求角度：利用夹角公式
- 求长度：利用模长公式
- 判断垂直：利用数量积为0
- 证明共线：a = λb
- 解决几何问题：借助向量运算将几何问题转化为代数问题
三、三角函数、平面向量综合应用
- 向量与三角函数的结合: 利用向量运算求解三角函数的最值、周期、单调性等问题。
- 三角函数与解三角形的结合: 在三角形中利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，结合三角函数的性质求解。
- 平面向量在解析几何中的应用: 用向量方法研究直线、圆锥曲线的性质。
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