《五年级上册思维导图数学》
一、小数乘法
1. 小数乘整数
- 概念： 求几个相同小数的和的简便运算。
- 计算方法：
- 按整数乘法法则计算。
- 看因数中小数部分有几位，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 积的小数部分末尾有0的，要把0去掉。
- 注意事项：
- 对齐方式：末尾对齐。
- 注意进位。
- 小数点的位置。
- 例题： 0.8 × 3 = ? (转化：8×3=24，再数出一位小数，结果为2.4)
2. 小数乘小数
- 概念： 一个数乘以另一个数，得到一个积。
- 计算方法：
- 按整数乘法法则计算。
- 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
- 积的小数部分末尾有0的，要把0去掉。
- 注意事项：
- 对齐方式：末尾对齐。
- 注意进位。
- 小数点的位置（数清位数）。
- 位数不够时，用0补位。
- 例题： 2.5 × 0.4 = ? (转化：25×4=100，再数出两位小数，结果为1.00，化简为1)
3. 积的近似数
- 概念： 根据需要，用“四舍五入”法取积的近似值。
- 方法：
- 先计算出准确的积。
- 根据要求保留的位数，看下一位数字，进行“四舍五入”。
- 注意事项：
- 注意单位。
- “约等于”符号（≈）的使用。
- 例题： 3.14 × 2.6 ≈ ? (保留一位小数。计算结果为8.164，四舍五入为8.2)
4. 连乘、乘加、乘减
- 运算顺序： 与整数相同，先乘除后加减，有括号的先算括号内的。
- 简便运算： 乘法交换律、结合律、分配律同样适用。
- 乘法交换律： a × b = b × a
- 乘法结合律： (a × b) × c = a × (b × c)
- 乘法分配律： (a + b) × c = a × c + b × c
- 例题： 0.25 × 4.78 × 4 = ? (运用乘法结合律：0.25 × 4 × 4.78 = 1 × 4.78 = 4.78)
二、小数除法
1. 小数除以整数
- 概念： 将一个小数平均分成若干份，求每份是多少。
- 计算方法：
- 按整数除法的方法去除。
- 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
- 如果除到末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
- 整数部分不够除，商0占位，点上小数点。
- 例题： 7.2 ÷ 6 = ? (计算结果为1.2)
2. 一个数除以小数
- 概念： 已知两个数的积和一个因数，求另一个因数的运算。
- 计算方法：
- 先把除数变成整数（移动除数的小数点，使它变成整数）。
- 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）。
- 按照除数是整数的除法进行计算。
- 注意事项：
- 移动小数点时，位数要相同。
- 被除数位数不够时要补0。
- 例题： 2.1 ÷ 0.7 = ? (除数和被除数同时扩大10倍，变成21 ÷ 7 = 3)
3. 商的近似数
- 概念： 根据需要，用“四舍五入”法取商的近似值。
- 方法：
- 先计算出商，比要求保留的位数多算一位。
- 根据要求保留的位数，看下一位数字，进行“四舍五入”。
- 注意事项：
- 注意单位。
- “约等于”符号（≈）的使用。
- 例题： 10 ÷ 3 ≈ ? (保留两位小数。计算结果为3.333...，四舍五入为3.33)
4. 循环小数
- 概念： 一个数的小数部分，从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
- 分类：
- 纯循环小数： 循环节从小数点后第一位开始。
- 混循环小数： 循环节不是从小数点后第一位开始。
- 简便写法： 在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点。
- 例题： 5 ÷ 6 = 0.8333... (简便写法：0.8(·)3(·))
5. 用计算器探索规律
- 目的： 培养学生观察、发现规律的能力。
- 方法： 利用计算器进行大量的计算，观察计算结果的特点，总结规律。
- 例题： 1 ÷ 11 = ? 2 ÷ 11 = ? 3 ÷ 11 = ? ... 找出规律。
6. 解决问题
- 进一法： 为了使所需材料够用，即使计算结果有余数，也要向前一位进1。
- 去尾法： 实际所需数量不足整数时，去掉零头取整数。
- 例题： 制作一件衣服需要2.1米布，现有20米布，可以做多少件衣服？ (20 ÷ 2.1 ≈ 9.52，用去尾法，最多可以做9件衣服)
三、简易方程
1. 用字母表示数
- 作用： 简明地表达数量关系、运算定律和计算公式。
- 注意事项：
- 字母与数字相乘，省略乘号，数字在前，字母在后。
- 1与字母相乘，省略1。
- 相同的字母相乘，写成平方的形式。
- 例题： 速度为v，时间为t，路程s=vt；正方形面积 S=a²
2. 方程的意义
- 定义： 含有未知数的等式叫做方程。
- 区别： 方程一定是等式，但等式不一定是方程。
- 判断方法：
- 必须是等式。
- 必须含有未知数。
- 例题： x + 5 = 12 (是方程)； 3 + 7 = 10 (是等式，但不是方程)
3. 等式的性质
- 性质一： 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
- 性质二： 等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），所得结果仍然是等式。
- 作用： 解方程的依据。
- 例题： 如果 a = b，那么 a + c = b + c; a - c = b - c; a × c = b × c; a ÷ c = b ÷ c (c≠0)
4. 解方程
- 定义： 求方程的解的过程叫做解方程。
- 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。
- 解题步骤：
- 根据等式的性质，将方程变形。
- 使方程的一边只剩下未知数，另一边是数值。
- 检验： 将求出的解代入原方程，看左右两边是否相等。
- 例题： x + 5 = 12 (解：x = 12 - 5； x = 7)
5. 列方程解决问题
- 步骤：
- 找出题中的等量关系。
- 设未知数为x。
- 根据等量关系列方程。
- 解方程。
- 检验并写答。
- 关键： 找到正确的等量关系。
- 例题： 小明买了3支笔，共花了15元，每支笔多少钱？ (设每支笔x元，3x=15, x=5)
四、多边形的面积
1. 平行四边形的面积
- 公式： S = ah (面积 = 底 × 高)
- 推导： 通过割补法，将平行四边形转化为长方形，长方形的面积等于平行四边形的面积。
- 例题： 平行四边形底5cm，高3cm，面积是多少？(S = 5 × 3 = 15平方厘米)
2. 三角形的面积
- 公式： S = ½ ah (面积 = 底 × 高 ÷ 2)
- 推导： 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。
- 例题： 三角形底6cm，高4cm，面积是多少？(S = ½ × 6 × 4 = 12平方厘米)
3. 梯形的面积
- 公式： S = ½ (a + b)h (面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2)
- 推导： 两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是平行四边形面积的一半。
- 例题： 梯形上底4cm，下底6cm，高5cm，面积是多少？(S = ½ × (4 + 6) × 5 = 25平方厘米)
4. 组合图形的面积
- 方法：
- 分割法： 将组合图形分割成几个简单的图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形），分别计算出它们的面积，再加起来。
- 添补法： 将组合图形添补成一个完整的图形，计算出整个图形的面积，再减去添补部分的面积。
- 关键： 选择合适的分割或添补方法，尽量减少计算步骤。
- 例题： 一个房子侧面由一个长方形和一个三角形组成，分别计算其面积再相加。
5. 不规则图形的面积
- 方法：
- 数方格法： 在不规则图形上画上方格，数出完整的方格数和不完整的方格数，估算出总面积。
- 近似图形法： 将不规则图形近似看作规则图形，计算其面积。
- 注意事项： 估算结果会有误差。
五、植树问题（扩展内容，部分教材包含）
1. 封闭图形植树
- 棵数 = 间隔数
- 总长 = 间隔长 × 棵数
- 间隔长 = 总长 ÷ 棵数
- 例：圆形花坛周围每隔5米栽一棵树，花坛周长100米，需要栽多少棵树？（100/5=20棵）
2. 非封闭图形植树
- 两端都栽： 棵数 = 间隔数 + 1
- 一端栽一端不栽： 棵数 = 间隔数
- 两端都不栽： 棵数 = 间隔数 - 1
- 例：一条路长100米，每隔5米栽一棵树，两端都栽，需要栽多少棵树？（100/5=20， 20+1=21棵）