高一数学必修一第五章三角函数思维导图

# 《高一数学必修一第五章三角函数思维导图》

**中心主题：三角函数**

**一级分支：基本概念与定义**

*   **子分支：角的概念的推广**
    *   角的定义：由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
    *   正角、负角、零角：旋转方向决定正负，不旋转为零角。
    *   象限角：角的终边落在第几象限，就是第几象限角。
    *   轴线角：角的终边落在坐标轴上。
    *   终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可表示为集合{β|β=α+2kπ, k∈Z}。
*   **子分支：弧度制**
    *   定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
    *   换算：180°=π rad， 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
    *   弧长公式：l = |α|r  (α为弧度制下的角)
    *   扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
*   **子分支：三角函数的定义**
    *   任意角三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
        *   sinα = y （正弦）
        *   cosα = x （余弦）
        *   tanα = y/x （正切，x≠0）
        *   cotα = x/y （余切，y≠0）
        *   secα = 1/x （正割，x≠0）
        *   cscα = 1/y （余割，y≠0）
    *   三角函数值的符号：各象限三角函数值的符号口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
    *   特殊角的三角函数值：0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°的正弦、余弦、正切值。

**一级分支：三角恒等变换**

*   **子分支：同角三角函数的基本关系**
    *   平方关系：sin²α + cos²α = 1
    *   商数关系：tanα = sinα/cosα (cosα≠0), cotα = cosα/sinα (sinα≠0)
    *   倒数关系：tanα·cotα = 1, sinα·cscα = 1, cosα·secα = 1
*   **子分支：诱导公式**
    *   口诀：“奇变偶不变，符号看象限” (π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α 等等)
    *   理解：奇偶指的是kπ/2中k的奇偶性，符号看的是把α看作锐角时，对应函数在那个象限的符号。
*   **子分支：和角公式**
    *   sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
    *   sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
    *   cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
    *   cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
    *   tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
    *   tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
*   **子分支：倍角公式**
    *   sin2α = 2sinαcosα
    *   cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
    *   tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
*   **子分支：半角公式 (了解)**
    *   sin(α/2) = ±√((1-cosα)/2)
    *   cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2)
    *   tan(α/2) = ±√((1-cosα)/(1+cosα)) = (1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα)
*   **子分支：万能公式 (了解)**
    *   sinα = 2tan(α/2) / (1 + tan²(α/2))
    *   cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
    *   tanα = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2))
*   **子分支：积化和差与和差化积 (不常用，了解)**

**一级分支：三角函数的图像与性质**

*   **子分支：正弦函数 y = sinx**
    *   图像：正弦曲线。
    *   定义域：R
    *   值域：[-1, 1]
    *   奇偶性：奇函数，关于原点对称。
    *   周期性：周期函数，最小正周期T = 2π。
    *   单调性：在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k∈Z)上单调递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k∈Z)上单调递减。
    *   对称轴：x = π/2 + kπ (k∈Z)
    *   对称中心：(kπ, 0) (k∈Z)
*   **子分支：余弦函数 y = cosx**
    *   图像：余弦曲线。
    *   定义域：R
    *   值域：[-1, 1]
    *   奇偶性：偶函数，关于y轴对称。
    *   周期性：周期函数，最小正周期T = 2π。
    *   单调性：在[2kπ, π + 2kπ] (k∈Z)上单调递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z)上单调递增。
    *   对称轴：x = kπ (k∈Z)
    *   对称中心：(π/2 + kπ, 0) (k∈Z)
*   **子分支：正切函数 y = tanx**
    *   图像：正切曲线。
    *   定义域：{x|x≠π/2 + kπ, k∈Z}
    *   值域：R
    *   奇偶性：奇函数，关于原点对称。
    *   周期性：周期函数，最小正周期T = π。
    *   单调性：在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k∈Z)上单调递增。
*   **子分支：函数 y = Asin(ωx + φ)**
    *   A：振幅，决定函数值域， 最大值为A，最小值为-A。
    *   ω：角频率，决定周期，T = 2π/|ω|。
    *   φ：初相，决定图像左右平移，左加右减 (注意是将ωx+φ看作一个整体)。
    *   五点法作图：求解ωx+φ = 0, π/2, π, 3π/2, 2π 对应的x值，确定五个关键点。
    *   图像变换：平移变换、伸缩变换。注意变换顺序对结果的影响。例如先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同。

**一级分支：解三角形**

*   **子分支：正弦定理**
    *   内容：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为三角形外接圆半径)。
    *   应用：已知两角和一边，求其他边和角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（注意解的多解情况，如AAS, SSA）
*   **子分支：余弦定理**
    *   内容：a² = b² + c² - 2bc·cosA,  b² = a² + c² - 2ac·cosB, c² = a² + b² - 2ab·cosC。
    *   应用：已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；已知三边，求三个角。
*   **子分支：三角形面积公式**
    *   S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
    *   S = (1/2)ah (h为三角形的高)
    *   S = pr (p为半周长，r为内切圆半径)
    *   海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]， 其中p=(a+b+c)/2

**一级分支：应用**

*   **子分支：简单三角函数模型的应用**
    *   解决实际问题，例如：潮汐问题、单摆问题、交流电问题等。
    *   关键在于将实际问题抽象为三角函数问题，建立三角函数模型。
*   **子分支：向量与三角函数**
    *   利用向量解决三角函数问题，如利用向量的数量积公式求角度等。
    *   向量的坐标表示与三角函数的联系。

此思维导图力求涵盖高一数学必修一第五章三角函数的主要知识点，并对各个知识点进行展开说明，帮助学生系统地掌握三角函数知识。 强调了基本概念、三角恒等变换、图像性质以及解三角形的应用。

# 《高一数学必修一第五章三角函数思维导图》 **中心主题：三角函数** **一级分支：基本概念与定义** * **子分支：角的概念的推广** * 角的定义：由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 * 正角、负角、零角：旋转方向决定正负，不旋转为零角。 * 象限角：角的终边落在第几象限，就是第几象限角。 * 轴线角：角的终边落在坐标轴上。 * 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可表示为集合{β|β=α+2kπ, k∈Z}。 * **子分支：弧度制** * 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 * 换算：180°=π rad， 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30° * 弧长公式：l = |α|r (α为弧度制下的角) * 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r² * **子分支：三角函数的定义** * 任意角三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么： * sinα = y （正弦） * cosα = x （余弦） * tanα = y/x （正切，x≠0） * cotα = x/y （余切，y≠0） * secα = 1/x （正割，x≠0） * cscα = 1/y （余割，y≠0） * 三角函数值的符号：各象限三角函数值的符号口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。 * 特殊角的三角函数值：0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°的正弦、余弦、正切值。 **一级分支：三角恒等变换** * **子分支：同角三角函数的基本关系** * 平方关系：sin²α + cos²α = 1 * 商数关系：tanα = sinα/cosα (cosα≠0), cotα = cosα/sinα (sinα≠0) * 倒数关系：tanα·cotα = 1, sinα·cscα = 1, cosα·secα = 1 * **子分支：诱导公式** * 口诀：“奇变偶不变，符号看象限” (π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α 等等) * 理解：奇偶指的是kπ/2中k的奇偶性，符号看的是把α看作锐角时，对应函数在那个象限的符号。 * **子分支：和角公式** * sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ * sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ * cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ * cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ * tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) * tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ) * **子分支：倍角公式** * sin2α = 2sinαcosα * cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α * tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) * **子分支：半角公式 (了解)** * sin(α/2) = ±√((1-cosα)/2) * cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2) * tan(α/2) = ±√((1-cosα)/(1+cosα)) = (1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα) * **子分支：万能公式 (了解)** * sinα = 2tan(α/2) / (1 + tan²(α/2)) * cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2)) * tanα = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2)) * **子分支：积化和差与和差化积 (不常用，了解)** **一级分支：三角函数的图像与性质** * **子分支：正弦函数 y = sinx** * 图像：正弦曲线。 * 定义域：R * 值域：[-1, 1] * 奇偶性：奇函数，关于原点对称。 * 周期性：周期函数，最小正周期T = 2π。 * 单调性：在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k∈Z)上单调递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k∈Z)上单调递减。 * 对称轴：x = π/2 + kπ (k∈Z) * 对称中心：(kπ, 0) (k∈Z) * **子分支：余弦函数 y = cosx** * 图像：余弦曲线。 * 定义域：R * 值域：[-1, 1] * 奇偶性：偶函数，关于y轴对称。 * 周期性：周期函数，最小正周期T = 2π。 * 单调性：在[2kπ, π + 2kπ] (k∈Z)上单调递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z)上单调递增。 * 对称轴：x = kπ (k∈Z) * 对称中心：(π/2 + kπ, 0) (k∈Z) * **子分支：正切函数 y = tanx** * 图像：正切曲线。 * 定义域：{x|x≠π/2 + kπ, k∈Z} * 值域：R * 奇偶性：奇函数，关于原点对称。 * 周期性：周期函数，最小正周期T = π。 * 单调性：在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k∈Z)上单调递增。 * **子分支：函数 y = Asin(ωx + φ)** * A：振幅，决定函数值域，最大值为A，最小值为-A。 * ω：角频率，决定周期，T = 2π/|ω|。 * φ：初相，决定图像左右平移，左加右减 (注意是将ωx+φ看作一个整体)。 * 五点法作图：求解ωx+φ = 0, π/2, π, 3π/2, 2π 对应的x值，确定五个关键点。 * 图像变换：平移变换、伸缩变换。注意变换顺序对结果的影响。例如先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同。 **一级分支：解三角形** * **子分支：正弦定理** * 内容：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为三角形外接圆半径)。 * 应用：已知两角和一边，求其他边和角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（注意解的多解情况，如AAS, SSA） * **子分支：余弦定理** * 内容：a² = b² + c² - 2bc·cosA, b² = a² + c² - 2ac·cosB, c² = a² + b² - 2ab·cosC。 * 应用：已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；已知三边，求三个角。 * **子分支：三角形面积公式** * S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB * S = (1/2)ah (h为三角形的高) * S = pr (p为半周长，r为内切圆半径) * 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2 **一级分支：应用** * **子分支：简单三角函数模型的应用** * 解决实际问题，例如：潮汐问题、单摆问题、交流电问题等。 * 关键在于将实际问题抽象为三角函数问题，建立三角函数模型。 * **子分支：向量与三角函数** * 利用向量解决三角函数问题，如利用向量的数量积公式求角度等。 * 向量的坐标表示与三角函数的联系。此思维导图力求涵盖高一数学必修一第五章三角函数的主要知识点，并对各个知识点进行展开说明，帮助学生系统地掌握三角函数知识。强调了基本概念、三角恒等变换、图像性质以及解三角形的应用。

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