《高一数学必修一第五章三角函数思维导图》

中心主题：三角函数

一级分支：基本概念与定义

• 子分支：角的概念的推广
  • 角的定义：由一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
  • 正角、负角、零角：旋转方向决定正负，不旋转为零角。
  • 象限角：角的终边落在第几象限，就是第几象限角。
  • 轴线角：角的终边落在坐标轴上。
  • 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可表示为集合{β|β=α+2kπ, k∈Z}。
• 子分支：弧度制
  • 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
  • 换算：180°=π rad， 1 rad = (180/π)° ≈ 57.30°
  • 弧长公式：l = |α|r (α为弧度制下的角)
  • 扇形面积公式：S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²
• 子分支：三角函数的定义
  • 任意角三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：
    • sinα = y （正弦）
    • cosα = x （余弦）
    • tanα = y/x （正切，x≠0）
    • cotα = x/y （余切，y≠0）
    • secα = 1/x （正割，x≠0）
    • cscα = 1/y （余割，y≠0）
  • 三角函数值的符号：各象限三角函数值的符号口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。
  • 特殊角的三角函数值：0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°的正弦、余弦、正切值。

一级分支：三角恒等变换

• 子分支：同角三角函数的基本关系
  • 平方关系：sin²α + cos²α = 1
  • 商数关系：tanα = sinα/cosα (cosα≠0), cotα = cosα/sinα (sinα≠0)
  • 倒数关系：tanα·cotα = 1, sinα·cscα = 1, cosα·secα = 1
• 子分支：诱导公式
  • 口诀：“奇变偶不变，符号看象限” (π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α 等等)
  • 理解：奇偶指的是kπ/2中k的奇偶性，符号看的是把α看作锐角时，对应函数在那个象限的符号。
• 子分支：和角公式
  • sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
  • sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
  • cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
  • cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
  • tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)
  • tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)
• 子分支：倍角公式
  • sin2α = 2sinαcosα
  • cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
  • tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
• 子分支：半角公式 (了解)
  • sin(α/2) = ±√((1-cosα)/2)
  • cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2)
  • tan(α/2) = ±√((1-cosα)/(1+cosα)) = (1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα)
• 子分支：万能公式 (了解)
  • sinα = 2tan(α/2) / (1 + tan²(α/2))
  • cosα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2))
  • tanα = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2))
• 子分支：积化和差与和差化积 (不常用，了解)

一级分支：三角函数的图像与性质

• 子分支：正弦函数 y = sinx
  • 图像：正弦曲线。
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 奇偶性：奇函数，关于原点对称。
  • 周期性：周期函数，最小正周期T = 2π。
  • 单调性：在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] (k∈Z)上单调递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] (k∈Z)上单调递减。
  • 对称轴：x = π/2 + kπ (k∈Z)
  • 对称中心：(kπ, 0) (k∈Z)
• 子分支：余弦函数 y = cosx
  • 图像：余弦曲线。
  • 定义域：R
  • 值域：[-1, 1]
  • 奇偶性：偶函数，关于y轴对称。
  • 周期性：周期函数，最小正周期T = 2π。
  • 单调性：在[2kπ, π + 2kπ] (k∈Z)上单调递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ] (k∈Z)上单调递增。
  • 对称轴：x = kπ (k∈Z)
  • 对称中心：(π/2 + kπ, 0) (k∈Z)
• 子分支：正切函数 y = tanx
  • 图像：正切曲线。
  • 定义域：{x|x≠π/2 + kπ, k∈Z}
  • 值域：R
  • 奇偶性：奇函数，关于原点对称。
  • 周期性：周期函数，最小正周期T = π。
  • 单调性：在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ) (k∈Z)上单调递增。
• 子分支：函数 y = Asin(ωx + φ)
  • A：振幅，决定函数值域， 最大值为A，最小值为-A。
  • ω：角频率，决定周期，T = 2π/|ω|。
  • φ：初相，决定图像左右平移，左加右减 (注意是将ωx+φ看作一个整体)。
  • 五点法作图：求解ωx+φ = 0, π/2, π, 3π/2, 2π 对应的x值，确定五个关键点。
  • 图像变换：平移变换、伸缩变换。注意变换顺序对结果的影响。例如先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同。

一级分支：解三角形

• 子分支：正弦定理
  • 内容：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R为三角形外接圆半径)。
  • 应用：已知两角和一边，求其他边和角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（注意解的多解情况，如AAS, SSA）
• 子分支：余弦定理
  • 内容：a² = b² + c² - 2bc·cosA, b² = a² + c² - 2ac·cosB, c² = a² + b² - 2ab·cosC。
  • 应用：已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；已知三边，求三个角。
• 子分支：三角形面积公式
  • S = (1/2)absinC = (1/2)bcsinA = (1/2)acsinB
  • S = (1/2)ah (h为三角形的高)
  • S = pr (p为半周长，r为内切圆半径)
  • 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]， 其中p=(a+b+c)/2

一级分支：应用

• 子分支：简单三角函数模型的应用
  • 解决实际问题，例如：潮汐问题、单摆问题、交流电问题等。
  • 关键在于将实际问题抽象为三角函数问题，建立三角函数模型。
• 子分支：向量与三角函数
  • 利用向量解决三角函数问题，如利用向量的数量积公式求角度等。
  • 向量的坐标表示与三角函数的联系。

此思维导图力求涵盖高一数学必修一第五章三角函数的主要知识点，并对各个知识点进行展开说明，帮助学生系统地掌握三角函数知识。 强调了基本概念、三角恒等变换、图像性质以及解三角形的应用。