六上除法比分数关系的思维导图

# 《六上除法比分数关系的思维导图》

## 一、除法、比、分数的核心概念与联系

### 1.1 除法
*   **定义：** 已知两个因数的积和一个因数，求另一个因数的运算。
*   **形式：** a ÷ b = c (b ≠ 0)，a是被除数，b是除数，c是商。
*   **意义：**
    *   平均分：将一个数量平均分成若干份，求每一份是多少。
    *   包含除：求一个数里包含多少个另一个数。
*   **性质：**
    *   商不变性质：被除数和除数同时乘以或除以同一个不为零的数，商不变。
    *   除数不能为0。
*   **应用：**
    *   解决实际问题：如平均分配问题、倍数关系问题等。

### 1.2 比
*   **定义：** 两个数相除又叫做两个数的比。
*   **形式：** a : b，a是前项，b是后项，a/b是比值。
*   **意义：**
    *   表示两个数之间的倍数关系。
    *   表示两个同类量之间的关系。
*   **性质：**
    *   比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变。（比的基本性质）
*   **应用：**
    *   化简比：将比化成最简整数比。
    *   按比例分配：根据一定的比例关系分配数量。
    *   比例尺：表示图上距离与实际距离的比。

### 1.3 分数
*   **定义：** 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
*   **形式：** a/b，a是分子，b是分母（b≠0）。
*   **意义：**
    *   表示一个数是另一个数的几分之几。
    *   表示把单位“1”平均分成若干份，取其中的几份。
*   **性质：**
    *   分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。
*   **应用：**
    *   分数乘除法运算。
    *   分数与百分数的互化。
    *   解决实际问题：如求一个数的几分之几是多少。

### 1.4 三者联系
*   **转化关系：**
    *   除法算式：a ÷ b = a/b = a : b  （b ≠ 0）
    *   比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
    *   分数的分母相当于除数，分子相当于被除数，分数值相当于商。
*   **本质：** 都是表示两个数之间的关系，除法是运算，比是一种关系，分数是一种数。

## 二、分数除法

### 2.1 分数除法的意义
*   **定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
*   **与整数除法的联系：** 意义相同，都是已知积和一个因数，求另一个因数。

### 2.2 分数除法的计算法则
*   **法则：** 除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。  (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)  (c/d ≠ 0)
*   **关键：** 找准除数的倒数。
*   **注意：** 整数可以看作分母为1的分数进行计算。

### 2.3 分数除法的应用
*   **求一个数是另一个数的几分之几：** 用前一个数除以后一个数。
*   **已知一个数的几分之几是多少，求这个数：** 用已知的分数对应量除以对应的分率。  （相当于解方程）
*   **复杂分数除法应用题：**
    *   找准单位“1”。
    *   分析数量关系。
    *   列式计算或列方程解答。

## 三、比的应用

### 3.1 比的化简
*   **方法：**
    *   整数比：同时除以最大公约数，化为最简整数比。
    *   分数比：同时乘以各分母的最小公倍数，再进行化简。
    *   小数比：先化为整数比，再进行化简。
*   **注意：** 比值与最简比的区别，比值是一个数，最简比是一个比例关系。

### 3.2 按比例分配
*   **定义：** 将一个数量按照一定的比进行分配。
*   **方法：**
    1.  求出总份数：将比例中的各项加起来。
    2.  求出每一份的量：用总数量除以总份数。
    3.  求出各部分的量：用每一份的量乘以各部分的份数。
*   **公式：**
    *   每一份的量 = 总数量 ÷ 总份数
    *   各部分的量 = 每一份的量 × 各部分的份数
*   **应用：** 生产、生活中的实际问题。

### 3.3 比例尺
*   **定义：** 图上距离与实际距离的比。
*   **形式：**
    *   数值比例尺：如 1:10000
    *   线段比例尺：一段线段表示实际距离。
*   **计算：**
    *   图上距离 = 实际距离 × 比例尺
    *   实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺
*   **单位统一：** 计算时要注意单位的统一。

## 四、综合应用

### 4.1 解决实际问题
*   **步骤：**
    1.  理解题意，明确已知条件和所求问题。
    2.  分析数量关系，找准单位“1”。
    3.  列式计算或列方程解答。
    4.  检验结果，写出答案。
*   **策略：**
    *   转化法：将比、除法、分数互相转化。
    *   方程法：设未知数，根据数量关系列方程。
    *   画图法：用线段图或示意图帮助理解题意。

### 4.2 易错点
*   区分“一个数是另一个数的几分之几”与“一个数比另一个数多/少几分之几”。
*   按比例分配问题中，注意总份数是否包含某个部分。
*   比例尺问题中，单位换算要准确。
*   分数除法计算时，忘记将除号变为乘号，或者找错倒数。

## 五、总结

除法、比、分数关系密切，掌握它们之间的联系与转化，能够更好地理解和解决相关的数学问题。 熟练掌握分数除法的计算方法，灵活运用比的知识解决实际问题，是六年级数学学习的重要内容。通过思维导图，可以帮助我们梳理知识，建立联系，提高学习效率。

# 《六上除法比分数关系的思维导图》 ## 一、除法、比、分数的核心概念与联系 ### 1.1 除法 * **定义：** 已知两个因数的积和一个因数，求另一个因数的运算。 * **形式：** a ÷ b = c (b ≠ 0)，a是被除数，b是除数，c是商。 * **意义：** * 平均分：将一个数量平均分成若干份，求每一份是多少。 * 包含除：求一个数里包含多少个另一个数。 * **性质：** * 商不变性质：被除数和除数同时乘以或除以同一个不为零的数，商不变。 * 除数不能为0。 * **应用：** * 解决实际问题：如平均分配问题、倍数关系问题等。 ### 1.2 比 * **定义：** 两个数相除又叫做两个数的比。 * **形式：** a : b，a是前项，b是后项，a/b是比值。 * **意义：** * 表示两个数之间的倍数关系。 * 表示两个同类量之间的关系。 * **性质：** * 比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为零的数，比值不变。（比的基本性质） * **应用：** * 化简比：将比化成最简整数比。 * 按比例分配：根据一定的比例关系分配数量。 * 比例尺：表示图上距离与实际距离的比。 ### 1.3 分数 * **定义：** 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。 * **形式：** a/b，a是分子，b是分母（b≠0）。 * **意义：** * 表示一个数是另一个数的几分之几。 * 表示把单位“1”平均分成若干份，取其中的几份。 * **性质：** * 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。 * **应用：** * 分数乘除法运算。 * 分数与百分数的互化。 * 解决实际问题：如求一个数的几分之几是多少。 ### 1.4 三者联系 * **转化关系：** * 除法算式：a ÷ b = a/b = a : b （b ≠ 0） * 比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 * 分数的分母相当于除数，分子相当于被除数，分数值相当于商。 * **本质：** 都是表示两个数之间的关系，除法是运算，比是一种关系，分数是一种数。 ## 二、分数除法 ### 2.1 分数除法的意义 * **定义：** 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 * **与整数除法的联系：** 意义相同，都是已知积和一个因数，求另一个因数。 ### 2.2 分数除法的计算法则 * **法则：** 除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数。 (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) (c/d ≠ 0) * **关键：** 找准除数的倒数。 * **注意：** 整数可以看作分母为1的分数进行计算。 ### 2.3 分数除法的应用 * **求一个数是另一个数的几分之几：** 用前一个数除以后一个数。 * **已知一个数的几分之几是多少，求这个数：** 用已知的分数对应量除以对应的分率。（相当于解方程） * **复杂分数除法应用题：** * 找准单位“1”。 * 分析数量关系。 * 列式计算或列方程解答。 ## 三、比的应用 ### 3.1 比的化简 * **方法：** * 整数比：同时除以最大公约数，化为最简整数比。 * 分数比：同时乘以各分母的最小公倍数，再进行化简。 * 小数比：先化为整数比，再进行化简。 * **注意：** 比值与最简比的区别，比值是一个数，最简比是一个比例关系。 ### 3.2 按比例分配 * **定义：** 将一个数量按照一定的比进行分配。 * **方法：** 1. 求出总份数：将比例中的各项加起来。 2. 求出每一份的量：用总数量除以总份数。 3. 求出各部分的量：用每一份的量乘以各部分的份数。 * **公式：** * 每一份的量 = 总数量 ÷ 总份数 * 各部分的量 = 每一份的量 × 各部分的份数 * **应用：** 生产、生活中的实际问题。 ### 3.3 比例尺 * **定义：** 图上距离与实际距离的比。 * **形式：** * 数值比例尺：如 1:10000 * 线段比例尺：一段线段表示实际距离。 * **计算：** * 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 * 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 * **单位统一：** 计算时要注意单位的统一。 ## 四、综合应用 ### 4.1 解决实际问题 * **步骤：** 1. 理解题意，明确已知条件和所求问题。 2. 分析数量关系，找准单位“1”。 3. 列式计算或列方程解答。 4. 检验结果，写出答案。 * **策略：** * 转化法：将比、除法、分数互相转化。 * 方程法：设未知数，根据数量关系列方程。 * 画图法：用线段图或示意图帮助理解题意。 ### 4.2 易错点 * 区分“一个数是另一个数的几分之几”与“一个数比另一个数多/少几分之几”。 * 按比例分配问题中，注意总份数是否包含某个部分。 * 比例尺问题中，单位换算要准确。 * 分数除法计算时，忘记将除号变为乘号，或者找错倒数。 ## 五、总结除法、比、分数关系密切，掌握它们之间的联系与转化，能够更好地理解和解决相关的数学问题。熟练掌握分数除法的计算方法，灵活运用比的知识解决实际问题，是六年级数学学习的重要内容。通过思维导图，可以帮助我们梳理知识，建立联系，提高学习效率。

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