《数学八年级下册第九章思维导图苏科版》

章节总览：不等式与不等式组

核心概念： 不等关系、不等式、不等式的基本性质、不等式解集、一元一次不等式、一元一次不等式组、不等式的实际应用

思维导图结构：

mermaid graph LR A[第九章：不等式与不等式组] --> B(不等关系与不等式); A --> C(不等式的基本性质); A --> D(一元一次不等式); A --> E(一元一次不等式组); A --> F(不等式的应用);

B --> B1(不等关系的表示);
B --> B2(不等式的定义);
B --> B3(不等式的识别);

C --> C1(性质1：不等式两边加/减同一个数/式，不等号方向不变);
C --> C2(性质2：不等式两边乘/除同一个正数，不等号方向不变);
C --> C3(性质3：不等式两边乘/除同一个负数，不等号方向改变);
C --> C4(性质的应用：不等式变形);

D --> D1(一元一次不等式的定义);
D --> D2(一元一次不等式的解);
D --> D3(解一元一次不等式的步骤);
D --> D4(不等式解集的表示：数轴);

E --> E1(一元一次不等式组的定义);
E --> E2(解一元一次不等式组);
E --> E3(不等式组解集的四种情况);
E --> E4(空集);
E --> E5(公共解集);

F --> F1(列不等式解决实际问题);
F --> F2(确定不等关系);
F --> F3(建立数学模型);
F --> F4(求解不等式/不等式组);
F --> F5(检验并作答);

具体内容展开：

一、不等关系与不等式

• 不等关系的表示：
  • 大于 (>)：a 大于 b，记作 a > b
  • 小于 (<)：a 小于 b，记作 a < b
  • 大于等于 (≥)：a 大于等于 b，记作 a ≥ b (也可用 a 不小于 b 表示)
  • 小于等于 (≤)：a 小于等于 b，记作 a ≤ b (也可用 a 不大于 b 表示)
  • 不等于 (≠)：a 不等于 b，记作 a ≠ b
• 不等式的定义： 用不等号连接的式子，表示不等关系的式子，叫做不等式。
• 不等式的识别： 关键在于识别式子中是否含有不等号，以及不等号所表示的不等关系。 例如： 2x + 3 > 5; x - 1 ≤ 0; a ≠ b 等都是不等式。

二、不等式的基本性质

• 性质1： 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
  • 如果 a > b，那么 a + c > b + c； a - c > b - c
  • 如果 a < b，那么 a + c < b + c； a - c < b - c
• 性质2： 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
  • 如果 a > b，且 c > 0，那么 ac > bc； a/c > b/c
  • 如果 a < b，且 c > 0，那么 ac < bc； a/c < b/c
• 性质3： 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
  • 如果 a > b，且 c < 0，那么 ac < bc； a/c < b/c
  • 如果 a < b，且 c < 0，那么 ac > bc； a/c > b/c
• 性质的应用： 不等式的基本性质是不等式变形（如同解方程）的基础，运用这些性质可以将不等式化简，最终得到解集。 注意不等号方向的变化，尤其是乘以或者除以负数时。

三、一元一次不等式

• 一元一次不等式的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，含有不等号的式子，叫做一元一次不等式。一般形式：ax + b > 0 (或 < 0, ≥ 0, ≤ 0)，其中 a, b 为常数，且 a ≠ 0。
• 一元一次不等式的解： 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
• 解一元一次不等式的步骤： 与解一元一次方程类似，但要注意不等式的性质。
  1. 去分母： 不等式两边同乘分母的最小公倍数（注意符号）。
  2. 去括号： 按照去括号的法则进行，注意括号前的符号。
  3. 移项： 把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边（注意符号）。
  4. 合并同类项： 把同类项合并。
  5. 系数化为1： 不等式两边同除以未知数的系数（注意：如果系数是负数，不等号方向要改变）。
• 不等式解集的表示： 通常用数轴来表示不等式的解集，注意空心圆圈（不包含端点）和实心圆点（包含端点）的区别。

四、一元一次不等式组

• 一元一次不等式组的定义： 由几个含有一个相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
• 解一元一次不等式组： 分别解出每一个不等式，然后找出所有不等式的公共解集。
• 不等式组解集的四种情况：
  1. x > a 且 x > b (a < b)： 解集为 x > b。 (取大的)
  2. x < a 且 x < b (a < b)： 解集为 x < a。 (取小的)
  3. x > a 且 x < b (a < b)： 解集为 a < x < b。
  4. x > a 且 x < b (a > b)： 无解 (空集)。
• 空集： 当不等式组的解集不存在时，称其解集为空集，用 ∅ 表示。
• 公共解集： 多个不等式的解集的共同部分。在数轴上，公共解集是所有不等式解集覆盖的区域。

五、不等式的应用

• 列不等式解决实际问题： 很多实际问题都可以通过列不等式（或不等式组）来解决。
• 确定不等关系： 分析题目中的关键语句，找出数量之间的不等关系，如“至少”、“最多”、“不低于”、“不大于”等，将其转化为数学符号。
• 建立数学模型： 根据题目中的不等关系，列出相应的不等式或不等式组。
• 求解不等式/不等式组： 解所列的不等式或不等式组，得到未知数的取值范围。
• 检验并作答： 将解得的结果代入实际问题中进行检验，看是否符合题意，然后给出答案。注意答案的实际意义，例如人数一定是整数。

总结：

第九章的核心是不等关系和不等式的性质。熟练掌握不等式的基本性质是解不等式和不等式组的基础。 解不等式组的关键是分别解出每个不等式，然后求公共解集。 列不等式解应用题的关键是分析题意，找出不等关系。 灵活运用不等式的性质和解法，是学好本章的关键。