《数学几何思维导图》

一、几何基础

1.1 基本概念

• 点： 没有大小，只有位置。
• 线： 无数个点构成，只有长度。
  • 直线： 可以无限延伸。
  • 射线： 有一个端点，可以向一端无限延伸。
  • 线段： 有两个端点。
• 面： 无数条线构成，有长度和宽度。
  • 平面： 可以无限延伸的平的面。
• 体： 由面围成的，有长度、宽度和高度。
• 角： 两条有公共端点的射线组成的图形。
  • 角的度量： 度、分、秒。
  • 角的分类：
    • 锐角 (0° < 角 < 90°)
    • 直角 (角 = 90°)
    • 钝角 (90° < 角 < 180°)
    • 平角 (角 = 180°)
    • 周角 (角 = 360°)
  • 角的性质： 角平分线。

1.2 公理与定理

• 公理： 被人们长期实践证明是正确的，作为推理的出发点。
  • 两点确定一条直线。
  • 两点之间，线段最短。
• 定理： 通过证明得到的正确的命题。
  • 需要逻辑推理进行验证。

1.3 图形变换

• 平移： 图形沿某个方向移动，大小和形状不变。
• 旋转： 图形绕某个点旋转一定的角度，大小和形状不变。
• 轴对称： 图形沿某条直线折叠，两部分完全重合。
  • 对称轴。
• 位似： 图形放大或缩小，形状不变。
  • 位似中心。
  • 位似比。

二、平面几何

2.1 三角形

• 定义： 由三条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
• 分类：
  • 按角分类：
    • 锐角三角形：三个角都是锐角。
    • 直角三角形：有一个角是直角。
    • 钝角三角形：有一个角是钝角。
  • 按边分类：
    • 不等边三角形：三条边长度都不相等。
    • 等腰三角形：有两条边长度相等。
      • 等边三角形：三条边长度都相等。
• 重要性质：
  • 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
  • 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
  • 三角形中线、角平分线、高。
  • 勾股定理 (直角三角形) : a² + b² = c²
• 全等三角形：
  • SSS (边边边)
  • SAS (边角边)
  • ASA (角边角)
  • AAS (角角边)
  • HL (斜边、直角边) - 直角三角形特有
• 相似三角形：
  • 对应角相等，对应边成比例。
  • 相似比。
  • 判定：
    • 平行于三角形一边的直线，截其他两边，所得的三角形与原三角形相似。
    • 两角对应相等的两个三角形相似。
    • 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
    • 三边对应成比例的两个三角形相似。

2.2 四边形

• 定义： 由四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形。
• 分类：
  • 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形。
    • 性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。
  • 矩形： 有一个角是直角的平行四边形。
    • 性质：具有平行四边形的所有性质，四个角都是直角，对角线相等。
  • 菱形： 四条边都相等的平行四边形。
    • 性质：具有平行四边形的所有性质，四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。
  • 正方形： 四条边都相等且有一个角是直角的四边形。
    • 性质：具有矩形和菱形的所有性质。
  • 梯形： 只有一组对边平行的四边形。
    • 等腰梯形：两腰相等的梯形。
    • 直角梯形：有一个角是直角的梯形。

2.3 圆

• 定义： 到定点距离等于定长的点的集合。
  • 圆心、半径、直径。
• 弧与弦：
  • 弧：圆上任意两点之间的部分。
  • 弦：连接圆上任意两点的线段。
  • 优弧、劣弧。
• 圆心角、圆周角：
  • 圆心角：顶点在圆心，两边交圆于两点的角。
  • 圆周角：顶点在圆上，两边交圆于两点的角。
  • 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
• 直线与圆的位置关系：
  • 相交：直线与圆有两个交点。
  • 相切：直线与圆只有一个交点。
    • 切线：与圆只有一个交点的直线。
    • 切线的判定与性质。
  • 相离：直线与圆没有交点。
• 圆与圆的位置关系：
  • 外离
  • 外切
  • 相交
  • 内切
  • 内含
• 扇形与弧长，面积计算：
  • 弧长公式：L = (nπr)/180
  • 扇形面积公式：S = (nπr²)/360 = (1/2)Lr

三、立体几何

3.1 基本元素与关系

• 点、线、面： 立体几何的基本组成。
• 线线关系：
  • 相交
  • 平行
  • 异面
• 线面关系：
  • 线在面上
  • 线面平行
  • 线面垂直
• 面面关系：
  • 相交
  • 平行
  • 垂直

3.2 常见几何体

• 棱柱：
  • 直棱柱
  • 斜棱柱
  • 表面积、体积计算。
• 棱锥：
  • 正棱锥
  • 表面积、体积计算。
• 圆柱：
  • 表面积、体积计算。
• 圆锥：
  • 表面积、体积计算。
• 球：
  • 表面积、体积计算。

3.3 空间向量

• 空间向量的概念： 既有大小又有方向的量。
• 空间向量的运算： 加法、减法、数乘。
• 向量的数量积： a · b = |a||b|cosθ
• 向量的应用：
  • 计算角度。
  • 判断平行、垂直。
  • 求距离。

四、解析几何

4.1 平面直角坐标系

• 坐标轴： x轴、y轴。
• 坐标系象限： 一、二、三、四象限。
• 点的坐标： (x, y)。
• 两点间的距离公式： √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
• 中点坐标公式： ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

4.2 直线与方程

• 直线方程的几种形式：
  • 点斜式：y - y₁ = k(x - x₁)
  • 斜截式：y = kx + b
  • 两点式：(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)
  • 截距式：x/a + y/b = 1
  • 一般式：Ax + By + C = 0
• 两条直线的位置关系：
  • 平行：k₁ = k₂，b₁ ≠ b₂
  • 垂直：k₁k₂ = -1
  • 相交：k₁ ≠ k₂
  • 重合：k₁ = k₂，b₁ = b₂
• 点到直线的距离公式： d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

4.3 圆的方程

• 圆的标准方程： (x - a)² + (y - b)² = r²
• 圆的一般方程： x² + y² + Dx + Ey + F = 0
• 直线与圆的位置关系：
  • 相交
  • 相切
  • 相离

4.4 圆锥曲线

• 椭圆：
  • 定义：到两定点的距离之和为常数的点的轨迹。
  • 标准方程：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)
  • 焦点、长轴、短轴、离心率。
• 双曲线：
  • 定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。
  • 标准方程：x²/a² - y²/b² = 1
  • 焦点、实轴、虚轴、离心率、渐近线。
• 抛物线：
  • 定义：到定点与定直线的距离相等的点的轨迹。
  • 标准方程：y² = 2px, y² = -2px, x² = 2py, x² = -2py
  • 焦点、准线、p的几何意义。

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