《四年级下册思维导图树》

一、运算定律与简便计算

• 1.1 加法运算定律
  • 1.1.1 加法交换律
    • 定义：两个加数交换位置，和不变。
    • 公式：a + b = b + a
    • 应用：
      • 简化计算：如 56 + 37 + 44 = 56 + 44 + 37 = 100 + 37 = 137
      • 验算加法：交换加数位置，重新计算，检查结果是否一致。
  • 1.1.2 加法结合律
    • 定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
    • 公式：(a + b) + c = a + (b + c)
    • 应用：
      • 简化计算：如 28 + 69 + 72 = 28 + 72 + 69 = 100 + 69 = 169
      • 灵活分组：选择加起来是整十、整百、整千的数进行结合。
• 1.2 乘法运算定律
  • 1.2.1 乘法交换律
    • 定义：两个乘数交换位置，积不变。
    • 公式：a × b = b × a
    • 应用：
      • 简化计算：如 25 × 37 × 4 = 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700
      • 验算乘法：交换乘数位置，重新计算，检查结果是否一致。
  • 1.2.2 乘法结合律
    • 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
    • 公式：(a × b) × c = a × (b × c)
    • 应用：
      • 简化计算：如 125 × 7 × 8 = 125 × 8 × 7 = 1000 × 7 = 7000
      • 灵活分组：寻找能凑成整十、整百、整千的数进行结合。
  • 1.2.3 乘法分配律
    • 定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
    • 公式：(a + b) × c = a × c + b × c 或 a × (b + c) = a × b + a × c
    • 逆用公式：a × c + b × c = (a + b) × c 或 a × b + a × c = a × (b + c)
    • 应用：
      • 简化计算：如 (40 + 8) × 25 = 40 × 25 + 8 × 25 = 1000 + 200 = 1200
      • 特殊形式：如 102 × 35 = (100 + 2) × 35 = 100 × 35 + 2 × 35 = 3500 + 70 = 3570
• 1.3 减法与除法的性质
  • 1.3.1 减法的性质
    • 性质一：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。
    • 公式：a - b - c = a - (b + c)
    • 性质二：一个数减去一个数的差，等于这个数先减去被减数，再加上减数。
    • 公式：a - (b - c) = a - b + c
  • 1.3.2 除法的性质
    • 性质一：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。
    • 公式：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)
    • 性质二：被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变。
    • 公式：(a × c) ÷ (b × c) = a ÷ b (c ≠ 0) (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) = a ÷ b (c ≠ 0)
• 1.4 简便计算综合应用
  • 观察数据特征，灵活选择运算定律和性质进行简便计算。
  • 注意运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号内。
  • 熟练掌握25×4=100，125×8=1000等常见数的乘积。

二、小数的意义和性质

• 2.1 小数的意义
  • 2.1.1 小数的产生：为了表示不是整数的量，把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 产生的数。
  • 2.1.2 小数的计数单位：十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……
  • 2.1.3 小数的组成：整数部分和小数部分。
  • 2.1.4 数位顺序表：明确整数部分、小数点、小数部分各数位名称及计数单位。
• 2.2 小数的性质
  • 定义：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
  • 应用：
    • 化简小数：去掉小数末尾的“0”。如 2.50 = 2.5
    • 改变小数的计数单位：在小数的末尾添上“0”，可以改变小数的计数单位，但大小不变。如 0.3 = 0.30
• 2.3 小数的大小比较
  • 比较方法：
    • 先比较整数部分，整数部分大的小数就大。
    • 如果整数部分相同，就比较小数部分的十分位，十分位上的数大的小数就大。
    • 如果十分位上的数也相同，就比较百分位，依次类推。
• 2.4 小数点移动引起小数大小变化的规律
  • 向右移动：小数点向右移动一位，小数扩大到原来的10倍；移动两位，扩大到原来的100倍；移动三位，扩大到原来的1000倍……
  • 向左移动：小数点向左移动一位，小数缩小到原来的1/10；移动两位，缩小到原来的1/100；移动三位，缩小到原来的1/1000……
• 2.5 小数与单位换算
  • 高级单位换算成低级单位：乘以进率。小数点向右移动。
  • 低级单位换算成高级单位：除以进率。小数点向左移动。
• 2.6 近似数
  • 定义：与准确数非常接近的数。
  • 取近似数的方法：
    • 四舍五入法：根据要求保留的位数，看下一位数字，小于5舍去，大于等于5向前一位进1。
    • 去尾法：直接舍去保留位数后面的所有数字。
    • 进一法：即使保留位数后面的数字不是0，也要向前一位进1。

三、三角形

• 3.1 三角形的特性
  • 定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）。
  • 特性：
    • 稳定性：三角形具有稳定性，不易变形。
    • 两点之间线段最短。
• 3.2 三角形的分类
  • 按角分：
    • 锐角三角形：三个角都是锐角。
    • 直角三角形：有一个角是直角。
    • 钝角三角形：有一个角是钝角。
  • 按边分：
    • 等腰三角形：有两条边相等。
      • 等边三角形：三条边都相等，是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。
    • 不等边三角形：三条边都不相等。
• 3.3 三角形的内角和
  • 三角形的内角和是180度。
  • 利用内角和求角度：已知三角形中两个角的度数，可以求出第三个角的度数。
• 3.4 三角形边的关系
  • 三角形任意两边之和大于第三边。
  • 判断三条线段能否组成三角形的方法：选择较短的两条线段，看它们的和是否大于最长的线段。
• 3.5 高和底
  • 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
  • 直角三角形的高：直角三角形的两条直角边互为高和底。
• 3.6 图形的拼组
  • 两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
  • 两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形或平行四边形。

四、小数的加法和减法

• 4.1 小数加减法的计算法则
  • 小数点对齐：相同数位对齐。
  • 从低位算起：按照整数加减法的计算方法进行计算。
  • 得数的小数点要和横线上的小数点对齐。
  • 结果能化简的要化简。
• 4.2 小数加减法的简便计算
  • 运用加法运算定律：加法交换律和加法结合律。
  • 运用减法的性质：a - b - c = a - (b + c) 和 a - (b - c) = a - b + c
• 4.3 小数加减法的应用
  • 解决实际问题：认真分析题意，明确数量关系，正确列式计算。
  • 注意单位换算：确保单位统一后再进行计算。