《六单元思维导图数学五上》

一、 小数乘法

1.1 整数乘法意义的推广

• 思维导图核心: 乘法意义扩展到小数。
• 要点:
  • 整数乘法表示几个相同加数的和的简便运算。
  • 小数乘整数的意义与整数乘法相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
  • 一个数乘小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
• 例题:
  • 3.6 × 5 表示 5 个 3.6 相加的和。
  • 3.6 × 0.5 表示 3.6 的十分之五是多少。
• 易错点: 混淆小数乘整数和小数乘小数的意义，尤其是计算时忽略了小数点。

1.2 小数乘法的计算法则

• 思维导图核心: 小数乘法的计算步骤。
• 要点:
  1. 按照整数乘法的方法进行计算。
  2. 看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
  3. 积的小数部分末尾有0，要去掉末尾的0。
• 例题:
  • 计算 2.35 × 1.2
    • 先算 235 × 12 = 2820
    • 因数共有 3 位小数，所以积是 2.820
    • 去掉末尾的 0，结果为 2.82
• 易错点:
  • 小数点位置的确定，忘记数因数中的小数位数。
  • 积的末尾有0时忘记去掉。
  • 整数与小数相乘时，容易将整数部分的小数点错误移动。

1.3 积的近似数

• 思维导图核心: 积的近似数取舍方法。
• 要点:
  • 用“四舍五入”法取近似数。
  • 保留几位小数，就看保留的位数后一位，然后按“四舍五入”法处理。
• 例题:
  • 将 3.14159 保留两位小数，结果是 3.14。
  • 将 3.14159 保留三位小数，结果是 3.142。
• 易错点:
  • 误用“进一法”或“去尾法”，忽略题目要求。
  • 多次取近似值导致误差累积。

1.4 简便运算

• 思维导图核心: 乘法运算定律在小数乘法中的应用。
• 要点:
  • 乘法交换律：a × b = b × a
  • 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
  • 乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
• 例题:
  • 2.5 × 3.7 × 0.4 = 2.5 × 0.4 × 3.7 = 1 × 3.7 = 3.7
  • 1.25 × (8 + 0.8) = 1.25 × 8 + 1.25 × 0.8 = 10 + 1 = 11
• 易错点:
  • 错误使用运算定律，导致计算错误。
  • 不能准确判断是否可以使用简便运算。

二、 位置

2.1 确定位置

• 思维导图核心: 用数对表示位置。
• 要点:
  • 数对表示位置的方法：用两个数分别表示列和行，用括号括起来，中间用逗号隔开，即(列, 行)。
  • 列通常指从左往右数的第几列，行通常指从下往上数的第几行。
• 例题:
  • (3, 5) 表示第 3 列第 5 行。
  • 某人在第 2 列第 4 行，他的位置可以用 (2, 4) 表示。
• 易错点:
  • 列和行的顺序颠倒。
  • 混淆横轴和纵轴的概念，导致错误判断。

三、 小数除法

3.1 小数除以整数

• 思维导图核心: 小数除以整数的计算方法。
• 要点:
  1. 按照整数除法的方法进行计算。
  2. 商的小数点要和被除数的小数点对齐。
  3. 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。
• 例题:
  • 计算 7.2 ÷ 4
    • 按照 72 ÷ 4 = 18 计算
    • 小数点对齐，结果为 1.8
• 易错点:
  • 小数点位置的确定错误。
  • 余数添0后忘记商0。

3.2 除数是小数的除法

• 思维导图核心: 将除数转化为整数的除法。
• 要点:
  1. 移动除数的小数点，使它变成整数。
  2. 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）。
  3. 按照除数是整数的除法进行计算。
• 例题:
  • 计算 2.56 ÷ 0.32
    • 将 0.32 转化为 32，小数点向右移动两位。
    • 将 2.56 转化为 256，小数点向右移动两位。
    • 计算 256 ÷ 32 = 8
• 易错点:
  • 忘记移动被除数的小数点。
  • 移动小数点后，位数不够，忘记补0。

3.3 商的近似数

• 思维导图核心: 商的近似数取舍方法，循环小数。
• 要点:
  • 用“四舍五入”法取近似数。
  • 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 有限小数：小数部分的位数是有限的。
  • 无限小数：小数部分的位数是无限的。
• 例题:
  • 3 ÷ 7 的商是循环小数，可以简写为 0.428571428571…。
  • 将 3 ÷ 7 的商保留两位小数，结果是 0.43。
• 易错点:
  • 误用“进一法”或“去尾法”，忽略题目要求。
  • 对循环小数的认识不清，无法判断循环节。

3.4 循环小数

• 思维导图核心： 循环小数的定义、表示方法及类型。
• 要点：
  • 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
  • 循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
  • 循环小数的简便写法：在循环节的首位和末位数字上各点一个点。
• 例题：
  • 5.333…的循环节是3，简便写法是5.3（3上面有点）
  • 2.15454…的循环节是54，简便写法是2.154（5和4上面有点）
• 易错点：
  • 无法准确找出循环节。
  • 循环小数的简便写法书写不规范。

3.5 用计算器探索规律

• 思维导图核心: 利用计算器进行计算，发现数字规律。
• 要点:
  • 利用计算器快速计算。
  • 观察计算结果，寻找数字之间的规律。
• 例题:
  • 1 ÷ 11 = 0.090909…
  • 2 ÷ 11 = 0.181818…
  • 3 ÷ 11 = 0.272727…
  • 可以发现规律：n ÷ 11 = 0.(9n)(9n)…
• 易错点:
  • 依赖计算器，缺乏对数字规律的观察和分析能力。

3.6 解决问题

• 思维导图核心: 运用小数乘除法解决实际问题。
• 要点:
  • 分析题目中的数量关系，确定计算方法。
  • 注意单位换算。
  • 根据实际情况取近似值。
• 例题:
  • 已知每千克苹果 5.5 元，买 2.5 千克苹果需要多少钱？（乘法问题）
  • 已知一根绳子长 10.5 米，每 1.5 米剪成一段，可以剪成几段？（除法问题）
• 易错点:
  • 数量关系分析错误，导致计算方法选择错误。
  • 单位换算错误。
  • 忽略实际情况，取近似值不合理。

四、 可能性

4.1 可能性的大小

• 思维导图核心: 事件发生的可能性分析。
• 要点:
  • 可能性：事件发生的概率。
  • 可能性的大小与事件发生的次数有关。
  • 在总数一定的情况下，数量越多，可能性越大；数量越少，可能性越小。
• 例题:
  • 一个箱子里有 3 个红球和 5 个黄球，摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性。
• 易错点:
  • 主观臆断，忽略数据分析。
  • 无法判断可能性大小。

五、 简易方程

5.1 用字母表示数

• 思维导图核心: 用字母表示数量关系。
• 要点:
  • 用字母可以表示任何数。
  • 在含有字母的乘法算式中，乘号可以省略不写，或者用“·”表示。
  • 数字和字母相乘时，数字要写在字母前面。
  • 相同的字母相乘，可以用平方表示。如 a × a = a²
• 例题:
  • 如果用 a 表示苹果的单价，用 b 表示购买的数量，那么总价可以用 a × b 或 ab 表示。
• 易错点:
  • 乘号省略不规范。
  • 数字和字母的位置颠倒。

5.2 方程的意义

• 思维导图核心: 方程的定义和性质。
• 要点:
  • 含有未知数的等式叫做方程。
  • 方程一定是等式，但等式不一定是方程。
• 例题:
  • 3x + 5 = 14 是方程。
  • 10 + 2 = 12 是等式，但不是方程。
• 易错点:
  • 混淆方程和等式的概念。
  • 误认为含有字母的式子都是方程。

5.3 解方程

• 思维导图核心: 解方程的方法。
• 要点:
  • 利用等式的性质解方程。
  • 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
  • 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
  • 解方程的目的是求出未知数的值。
• 例题:
  • 解方程：x + 3 = 7
    • x + 3 - 3 = 7 - 3
    • x = 4
• 易错点:
  • 等式性质运用错误。
  • 忘记检验。

5.4 列方程解决实际问题

• 思维导图核心: 列方程解应用题的步骤。
• 要点:
  1. 找出题目中的等量关系。
  2. 设未知数为 x。
  3. 根据等量关系列出方程。
  4. 解方程。
  5. 检验并写出答案。
• 例题:
  • 小明买了 5 支笔，共花了 20 元，每支笔多少钱？
    • 等量关系：单价 × 数量 = 总价
    • 设每支笔 x 元。
    • 列方程：5x = 20
    • 解方程：x = 4
    • 答案：每支笔 4 元。
• 易错点:
  • 等量关系寻找错误。
  • 列方程错误。
  • 忘记检验。

六、 多边形的面积

6.1 平行四边形的面积

• 思维导图核心: 平行四边形面积公式的推导和应用。
• 要点:
  • 平行四边形的面积 = 底 × 高 (S = ah)
  • 平行四边形可以转化为长方形。
• 例题:
  • 一个平行四边形的底是 8 厘米，高是 5 厘米，面积是 8 × 5 = 40 平方厘米。
• 易错点:
  • 误用平行四边形的边长代替高。
  • 单位不统一。

6.2 三角形的面积

• 思维导图核心: 三角形面积公式的推导和应用。
• 要点:
  • 三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = ah ÷ 2)
  • 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
• 例题:
  • 一个三角形的底是 6 厘米，高是 4 厘米，面积是 6 × 4 ÷ 2 = 12 平方厘米。
• 易错点:
  • 忘记除以 2。
  • 误用三角形的边长代替高。

6.3 梯形的面积

• 思维导图核心: 梯形面积公式的推导和应用。
• 要点:
  • 梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b)h ÷ 2)
  • 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
• 例题:
  • 一个梯形的上底是 3 厘米，下底是 5 厘米，高是 4 厘米，面积是 (3 + 5) × 4 ÷ 2 = 16 平方厘米。
• 易错点:
  • 忘记加括号。
  • 忘记除以 2。

6.4 组合图形的面积

• 思维导图核心: 将组合图形转化为简单图形。
• 要点:
  • 将组合图形分解成几个简单的图形（如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形）。
  • 分别计算简单图形的面积。
  • 将简单图形的面积相加或相减。
• 例题: 略 (需要根据具体图形进行分析)
• 易错点:
  • 分解图形错误。
  • 面积计算错误。
  • 漏算或多算面积。

6.5 解决问题

• 思维导图核心: 运用多边形面积公式解决实际问题。
• 要点:
  • 分析题目中的数量关系，确定计算方法。
  • 注意单位换算。
  • 根据实际情况进行计算。
• 例题:
  • 一个花坛是梯形，上底 3 米，下底 5 米，高 2 米，求花坛的面积。（梯形面积应用）
• 易错点:
  • 数量关系分析错误，导致计算方法选择错误。
  • 单位换算错误。

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